2024-2025学年广东深圳盐田区九年级（上）期中数学试题含答案

初中2024-2025学年广东省深圳市盐田区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（

）A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同2.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（）A. B.2 C.3 D.73.如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则度数为（）A. B. C. D.4.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点A与刻度尺上的0刻度重合，则的长度是（）A.3 B.4 C.5 D.65.宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）A.米 B.米 C.米 D.米6.七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）A. B. C. D.7.如图，与是位似图形，点是位似中心．若，的周长为4，则的周长为（）A.6 B.8 C.9 D.128.我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）9.已知，则的值为________．10.为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为________度．11.关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．12.图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化示意图，夹臂，可分别绕点旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即两点重合），夹嘴间的距离的长为________．13.如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为________．三、解答题（本大题有7小题，共61分）14.解一元二次方程：（1）；（2）．15.化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为；（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．16.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接．（1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程；①；②；③．（2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积．17.已知甲商品每件的进价为元，售价为每件元．（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件元进行两次调价后将售价降为每件元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，甲商品每降价元时，每月可多销售件．已知甲商品在原售价为每件元时的月销售量为件．若商场希望甲商品该月的获利为元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？18.综合与实践背景晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，，是广场上的两根电线杆，小明站在点E处，在两盏路灯B，D的照射下，地面上形成了他的两个影子，．素材1两盏路灯B，D的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为．素材2A，C，E，G，H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面．问题提出小明在广场中走动时（始终保证影子，不为0），两个影子端点间的距离是否会发生改变？问题解决任务1计算（1）如图（b），当小明影子长为时，此时小明到电线杆的距离为多少？任务2说理（2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长度发生变化，请说明理由．任务3拓展（3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度．19.综合与探究【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”【示例】如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”是________．【探究】（2）已知一元二次方程两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根．【猜想】（3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，）【证明】∵方程的两根为，；方程的两根为，①________；……（4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可）【拓展】（5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根．20.综合与探究如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P．（1）【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是；（2）【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．思路一思路二如图，在边上取一点M使，如图，在的延长线上取一点N使（3）【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为中点，，请求出的值；（4）【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长．

2024-2025学年广东省深圳市盐田区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（

）A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可．【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．2.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（）A. B.2 C.3 D.7【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程中，求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，∴，∴．故选：C3.如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角和的性质，掌握矩形的性质得到，运用三角形外角的性质计算是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角得到，因为是的外角，所以根据三角形外角和的性质即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点，∴，∴，∵是的外角，∴，∴，故选：C

．4.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点A与刻度尺上的0刻度重合，则的长度是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】本题考查了数轴两点间的距离，平行线分线段成比例定理等知识，根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理列方程求解即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．【详解】解：设点在数轴上表示的数为，∵点在数轴上表示的数是，图中的两条线段相互平行，即解得：∴．故选：D．5.宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，依据宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，帕提侬神庙平面图的长约为30米，∴它的宽约为：（米），故选：B．6.七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：小球落在4号地砖上的概率就是4号地砖的面积与总面积的比值．【详解】解：如图，由“七巧板”地砖的特点设，，，∴4号地砖的面积为，整个正方形的面积为，∴小球停在4号地砖上的概率是，故选D7.如图，与是位似图形，点是位似中心．若，的周长为4，则的周长为（）A.6 B.8 C.9 D.12【答案】A【解析】【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意，得到，从而确定相似比，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟记位似图形的性质是解决问题的关键．【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，，，，即，当的周长为时，的周长为，故选：A．8.我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积的关系可得出答案．【详解】解：方程，即的拼图如图：中间小正方形的边长为：，其面积为：，大正方形的面积为：，其边长为，因此，A选项所表示的图形符合题意，故选：A．二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）9.已知，则的值为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵，设，则，∴，故答案为：．10.为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为________度．【答案】【解析】【分析】本题考查了根据频率估算概率，理解图（b）中折线的含义，可得转盘中优胜奖的概率，由概率可得扇形圆心角，掌握频率估算概率，根据概率计算圆心角的方法是解题的关键．根据图（b）可得频率稳定在，即转盘中优胜的概率为，根据概率可得优胜区的圆心角，由此即可求解．【详解】解：由图（b）可得频率稳定在，即转盘中优胜的概率为，∴转盘中优胜奖区域的圆心角近似为，故答案为：

．11.关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】k＜1．【解析】【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=，解得：，故答案为.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.12.图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即两点重合），夹嘴间的距离的长为________．【答案】14【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵，，，∴，即，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案为：

．13.如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，延长，交的延长线于点，根据正方形的性质和折叠的性质得出，得到是等边三角形，设，，，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：延长，交的延长线于点，如图：∵四边形正方形，∴，，，∵，∴，由折叠可得：，∴，∴是等边三角形，∴，在中，，设，则，，∴，，∵，即，∴，，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题有7小题，共61分）14.解一元二次方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．（1）直接用因式分解法求解即可；（2）用配方法求解即可．【小问1详解】解：，∴，∴或，解得：，；【小问2详解】解：，∴，∴，∴，∴，∴或，解得：，．15.化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为；（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）根据概率公式计算即可求解；（）画出树状图，根据树状图即可求解；本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．【小问1详解】解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：用分别表示、、、，画树状图如下：由树状图可知，共有中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有种，∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为．16.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接．（1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程；①；②；③．（2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积．【答案】（1）①，证明见解析；（2）四边形的面积为．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，则四边形是平行四边形，由，得，则四边形是矩形；(2)由得，根据勾股定理求得则【小问1详解】证明：选①，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵是边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形矩形．【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，，，∴四边形的面积为．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键．17.已知甲商品每件的进价为元，售价为每件元．（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件元进行两次调价后将售价降为每件元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，甲商品每降价元时，每月可多销售件．已知甲商品在原售价为每件元时的月销售量为件．若商场希望甲商品该月的获利为元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？【答案】（1）这个降价率为（2）甲商品在原售价的基础上应降价元【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解下降率的计算方法，一元二次方程与销售利润的数量关系，掌握运用一元二次方程解下降率，销售利润的方法，理解其中的数量关系的列式与计算是解题的关键．（1）甲商品两次调价的降价率相同，这个降价率为，根据两次降价，列式求解即可；（2）设甲商品每降价元，则每月可多销售件，可得降价后每件的利润为（元），此时的销售量为件，由此列式求解一元二次方程即可．【小问1详解】解：甲商品两次调价的降价率相同，这个降价率为，∴，整理得，，∴，（不符合题意，舍去），∴这个降价率为；【小问2详解】解：∵甲商品每降价元时，每月可多销售件，∴设甲商品每降价元，则每月可多销售件，∴降价后每件的利润为（元），此时的销售量为件，∴，整理得，，解得，，∴甲商品在原售价的基础上应降价元．18.综合与实践背景晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，，是广场上的两根电线杆，小明站在点E处，在两盏路灯B，D的照射下，地面上形成了他的两个影子，．素材1两盏路灯B，D的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为．素材2A，C，E，G，H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面．问题提出小明在广场中走动时（始终保证影子，不为0），两个影子端点间的距离是否会发生改变？问题解决任务1计算（1）如图（b），当小明影子长为时，此时小明到电线杆的距离为多少？任务2说理（2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长度发生变化，请说明理由．任务3拓展（3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度．【答案】（1）；（2）的长不变，；（3）头顶距离地面的最大高度为【解析】【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论；（2）连接，证明，得出，根据，证明，得出，求出，得出，即可求出结果；（3）由，得出，得出，即，根据，求出结果即可．【详解】解：（1）根据题意可得：，，，，∴，解得：∴∴此时小明到电线杆的距离为；（2）长不变，连接，如图所示：根据题意可知：，，，∴，根据解析（1）可知：，∵，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）同（2）可得，∴，∴，即，∵，∴，解得：，∴此时小明头顶离地面的最大高度．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，比的基本性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式求解是解题的关键．19.综合与探究【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”【示例】如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”是________．【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根．【猜想】（3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，）【证明】∵方程的两根为，；方程的两根为，①________；……（4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可）【拓展】（5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根．【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数；（4）证明见解析；（5），．【解析】【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，倒数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据“友好方程”的定义即可得出答案；（2）根据“友好方程”定义得出方程的“友好方程”，求解即可；（3）（4）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案；（5）先根据“友好方程”的根的特点求出，即的两根为，，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解．【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是，故答案为：；（2），∴，解得：，；（3）（4）∵时，∴方程两根为，，方程的两根为，，∴，同理：，∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数，故答案为：互为倒数，；（5）∵关于x的方程的两根是，，∴方程