《平方差公式》课件

第十四章

整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.经历探索平方差公式的过程．进一步发展学生的符号感和推理能力.2.能运用公式进行简单的运算，进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想.3.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.学习重点：平方差公式得运算法则.学习难点：平方差公式得运算的灵活应用.丽丽同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，丽丽就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”丽丽同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道丽丽同学用的是一个什么样的公式吗？多项式与多项式是如何相乘的？知识点平方差公式学生活动【一起探究】(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn面积变了吗？a米5米5米a米(a–5)米相等吗？①(x

＋1)(x–1)；②(m

＋2)(m–2)；③(2m＋1)(2m–1)；④(5y

＋z)(5y–z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？做一做x2–

12m2–22(2m)2–

12(5y)2–

z2这些计算结果有什么特点？想一想(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a–b)(a+b)=a2–b22.(b+a)(–b+a)=a2–b2平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2

相同为a

相反为b，–b适当交换合理加括号平方差公式公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项

式或者多项式；2.左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另

一项互为相反数；3.右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.(a+b)(a–

b)=a2–

b2.温馨提示(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–120.3x1(0.3x)2–12(a–b)(a+b)填一填口答下列各题：

(1)(–a+b)(a+b)=_________.(2)(a–b)(b+a)=__________.(3)(–a–b)(–a+b)=________.(4)(a–b)(–a–b)=_________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2做一做例1计算：(1)(3x＋2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).素养考点1利用平方差公式计算(2)原式=

(–x)2–(2y)2=x2–4y2.解：

(1)原式=(3x)2–22=9x2–4；易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.

利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)；(2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；例2计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).素养考点2利用平方差公式简便运算=1002–22解:

(1)102×98=10000–4=(100＋2)(100–2)=9996；=

y2–4–y2–4y+5(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=

y2–22–(y2+4y–5)=–4y+1.

通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.(1)51×49;(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2)

.解:

(1)原式=(50＋1)(50–1)=502–12=2500–1=2499；(2)原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10.

计算:例3先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.素养考点3利用平方差公式进行化简求值解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，先化简,再求值:(3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)

=9–x2+2(x2–1)

=9–x2+2x2–2

=7+x2当x=2时，原式=7+22=7+4=11例4对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？素养考点4利用平方差公式进行证明即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2–1–(9–n2)＝10n2–10.∵(10n2–10)÷10=n2–1.n为正整数，∴n2–1为整数

对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．归纳总结

如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2

=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]

=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)

=4n×2

=8n

因为8n是8的倍数，所以结论成立.例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？素养考点5利用平方差公式解决实际问题∵a2＞a2–16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大妈吃亏了．

解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．归纳总结如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是()A.a2–b2=(a+b)(a–b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a–b)2=a2–2ab+b2D.(a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2ba图1ba图2A1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x)D．(x＋y)(–x–y)2.计算(2x+1)(2x–1)等于(

)A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+13.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．CA10(1)(a+3b)(a–

3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32原式=(–2x2)2–y2原式=(a)2–(3b)2(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4.利用平方差公式计算：解:解:解:5.计算：20152–

2014×2016.20152

–

2014×2016=20152–

(2015–1)(2015+1)=20152–(20152–12)=

20152–

20152+12=16.利用平方差公式计算:(1)(a–2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2–4)(a2+4)

=a4–16.(2)(x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)

=(x4–y4)(x4+y4)

=x8–y8.7.先化简，再求值：(x+1)(x–1)+x2(1–x)+x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.平方差公式内容注意两个数的与这两个数的，等于这两个数的1.符号表示：2.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.和平方差.差的积(a+b)(a–b)=a2–b2学前温故新课早知多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的

,再把所得的积

.

每一项

相加

学前温故新课早知1.平方差公式:(a+b)(a-b)=

,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的

.

2.下列各式,不能用平方差公式的是(

).3.填入适当的多项式,使等式(2x-y)·(

)=4x2-y2成立.

a2-b2平方差

C

2x+y1.利用平方差公式计算【例1】

计算:(1)(3x+2y)(2y-3x);(2)(-2a+3b)(-2a-3b).解:(1)原式=(2y+3x)(2y-3x)=4y2-9x2.(2)原式=[(-2a)+3b][(-2a)-3b]=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2.2.利用平方差公式进行数的简便计算分析:先变形两个因数,再利用平方差公式进行计算.(1)1

003与997的平均数是1

000,可以把原式写成(1

000+3)×(1

000-3);解:(1)1

003×997=(1

000+3)×(1

000-3)=1

0002-32=999

991.123456答案答案关闭C1