《二次函数》课件

第二十二章

二次函数

22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数.2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.

如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？

上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2①.二次函数的概念知识点1问题1n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？问题2分析：每个球队n要与其他_______球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数

.

②(n－1)

某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件,一年后的产量是

件,再经过一年后的产量是

件,即两年后的产量为

y=20（1+x）2.20(1+x)20(1+x)2即y=20x2+40x+20③.问题3③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.函数①②③有什么共同点?y=6x2①

y=20x2+40x+20③【思考】学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.y=6x2自变量函数函数解析式yymxxn【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！

一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的注意（2）a,b,c为常数，且整式.a≠0.二次函数的定义

一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.二次函数的定义

注意（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.（4）x的取值范围是.2任意实数

一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.二次项系数自变量一次项系数常数项二次函数的定义

二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c

(其中a、b、c是常数,a≠0)当b＝0时，y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）

当c＝0时，y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）当b＝0，c＝0时，y＝ax2.（只含有二次项）二次函数的特殊形式:二次函数的形式

例1

下列函数中是二次函数的有

.

√a=0×最高次数是4××√=x2√①⑤⑥

二次函数的识别素养考点1二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）方法点拨运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0.下列函数中,哪些是二次函数？(1)y=3(x-1)²+1(3)s=3-2t²(5)y=(x+3)²-x²(6)v=10πr²（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7)y=x²+x³+25(8)y=2²+2x（否）（否）(2)(4)右边不是整式右边不是整式自变量的最高次数是1整理后，自变量的最高次数是1自变量的最高次数是3例1例2关于x的函数

是二次函数,求m的值.

利用二次函数的定义求字母的值素养考点2解:

由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0.注意

二次函数的二次项系数不能为零.解得m=2.因此当m=2时，函数为二次函数.解：根据二次函数的定义，得解得a=-1.是二次函数，求常数a的值.根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.根据实际问题确定二次函数解析式知识点2例

一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积.建立二次函数的模型素养考点3

xm

y

m2

xm

（40-2x

）m解：由题意得：

y=x(40-2x).即

y=-2x2+40x.(0<x<20)当x＝12m时，菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；做一做:y=πx2y=2(1+x)2(x>0)(x>0)③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.S=4πr2(r>0)说一说以上二次函数解析式的各项系数.①

y=πx2②

y=2(1+x)2(x>0)(x>0)1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）

A.y=3x-1

B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1

D.y=x2+C2.已知函数y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，

解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1,

∴当m=0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，

得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1,

∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.

1.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为()A.y=ax2+bx+c

B.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=22+x+12.

函数

y=(m-n)x2+mx+n

是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n

D.m,n为任何实数CC基础巩固题3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s

与半径r

之间的关系式.4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式.S=4πr2.

解：由二次函数的定义得

当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.能力提升题

∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.解得m=1.问题导入，列关系式探索二次关系式共同点总结二次函数概念二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式；②未知数最高次数为2；③二次项系数不为0.确定二次函数解析式及自变量的取值范围1.一般地,形如

(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.在圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是(

)A.S是R的正比例函数 B.S是R的一次函数C.S是R的二次函数 D.以上答案都不对3.二次函数的三个特征:(1)函数解析式等号两边必须是

;

(2)化简后自变量的最高次数必须是

;

(3)二次项系数必须不为

.

4.若函数y=(n-3)+2x-1是二次函数,则n=

.

y=ax2+bx+cC整式

20-31.二次函数的概念【例1】

已知函数y=(m+2)+2x+6是关于x的二次函数,求满足条件的实数m的值.分析:由二次函数的概念,可以得到m2+m-4=2,且m+2≠0,解得m=-3或m=2.解：根据题意可得m2+m-4=2,且m+2≠0,解得m=-3或m=2.故满足条件的m的值为-3或2.点拨:判断一个函数是不是二次函数,应根据二次函数的三个特征作出判断,缺一不可.2.列二次函数解析式【例2】

为把一个长为100m,宽为60m的长方形游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场,把游泳池的长增加xm,写出扩建后水上游乐场的面积y(单位:m2)与x(单位:m)之间的解析式.分析:扩建后,水上游乐场的长为(100+x)m,周长为600

m,则宽为(200-x)m.由长方形的面积公式很容易列出函数解析式.解：由题意,得y=(100+x)(200-x),即y=-x2+100x+20

000.点拨:列与实际问题有关的二次函数解析式,应认真理解题意,明确各个量之间依存的关系.该例中,长方形的长和宽都在变化,因此,用变量x分别表示出它们,这是列出函数解析式的关键.612345答案答案关闭A6123452.若某种商品原价为a元,经过两次降价后为y元,假设每次降价的百分率均为x,则y与x的函数解析式为(

)A.y=ax2+a

B.y=x2+aC.y=ax2-2ax+a

D.y=a-2x答案答案关闭C6123453.已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0),当x=1时,y=1,则代数式1-a-b的值为(

)A.-3 B.-1 C.2 D.5