《因式分解法》课件

第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法1.学会用因式分解法来解方程.2.学生经历观察、探究等教学过程，发展学生的思维能力，培养学生的创新能力.3.学生通过自主探究、合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率.学习重点：学会利用因式分解法解一元二次方程.学习难点：多项式分解因式.

1.

解一元二次方程的方法有哪些？直接开平方法：配方法：x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法：x=

（b2-4ac≥0）2.

什么叫因式分解?把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:【思考】下面的方程如何使解答简单呢？am+bm+cm=m(a+b+c).a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².x2+25x=0.（3）十字相乘法:

根据物理学规律，如果把一个物体从地面10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为因式分解法的概念知识点提示：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到0.01s）解：配方法公式法解：a=4.9，b=－10，c=0.b2－4ac=(－10)2－0=100因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0.或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．【思考】以上解方程10x-4.9x2=0

的方法是如何使二次方程降为一次的？①②x(10-4.9x)=0

x=0或10-4.9x=01.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0

”.【提示】分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.将方程右边化为等于0的形式；解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或

x＋1=0,x1=2，x2=－1.(x－2)(x＋1)=0.例1

解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0素养考点1

因式分解法解一元二次方程（2）5x2-2x-=x2-2x+(2)移项、合并同类项，得因式分解，得

(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,4x2-1=0x1=，

x2=-.右化零左分解

两因式各求解一.因式分解法简记歌诀：二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.解下列方程：解：

因式分解，得（1）

x2+x=0

x(x+1)=0.于是得

x=0或

x+1=0，x1=0,x2=－1.解：因式分解，得（2）x2-2x=0x（x-2）=0

于是得

x=0或

x-2=0x1=0，x2=2解：将方程化为因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.于是得

x－1=0或

x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得

2x+11=0或

2x

－11=0，x1=-5.5，

x2=5.5.（3）（4）解：将方程化为因式分解，得6x2－x

－2=0.(3x

－2)(2x+1)=0.有

3x

－2=0或

2x+1=0，解：将方程化为因式分解，得(x

－4)2

－(5－2x)2=0.(x

－4－5+2x)(x

－4+5－2x)=0.(3x

－9)(1－x)=0.有

3x

－9=0或

1－

x=0，x1=3,x2=1.x1=，x2=-（5）（6）例2用适当方法解下列方程：

(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;

(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.灵活选择方法解一元二次方程

素养考点2

思路点拨：四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．(2)x2－6x－19＝0；

(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(3)3x2＝4x＋1;

(4)y2－15＝2y；(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.(1)x2－＝0；用适当的方法解下列方程：

解：原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为

．﹣32.

解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．解：

2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得

2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=．1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.基础巩固题2.小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）

A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝0D我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________能力提升题解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，若选择②，①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择③，①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.若选择④，解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.拓广探索题【点拨】把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.ax2+c=0====>ax2+bx=0====>ax2+bx+c=0====>因式分解法公式法（配方法）1.直接开平方法因式分解法2.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法1.因式分解的方法有哪些？2.因式分解法解方程的一般步骤？3.用因式分解法解方程时，我们要应注意什么？1.在解一元二次方程时,不是用开平方降次,而是先

使方程化为两个一次式的乘积等于

的形式,再使这两个一次式分别等于

,从而实现

.这种解法叫做

.

2.方程(x-1)(x+2)=0的两根分别为(

)A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=2C.x1=-1,x2=-2 D.x1=1,x2=-2因式分解

00降次

因式分解法

D3.配方法要先

,再降次;通过配方法可以推出

,公式法直接利用求根公式解方程;因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再使一次因式分别等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之,解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化为一次方程,即

.

4.解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程

.

配方

求根公式

降次

.x+3=0(或x-1=0)5.解方程:(x-3)(x-1)=3.解

方程化为x2-4x=0,x(x-4)=0,所以x1=0,x2=4.用因式分解法解题【例】

用因式分解法解下列一元二次方程:(1)(x-1)(x+3)=-3;(2)(3x-1)2=4(2x+3)2.分析:(1)先化成一元二次方程的一般形式,再因式分解;(2)先将方程右边的代数式移到左边,再运用平方差公式来因式分解.解:(1)将原方程整理,可得x2+2x=0,因式分解得x(x+2)=0,解得x=0或x+2=0.即x1=0,x2=-2.(2)整理,得(3x-1)2-[2(2x+3)]2=0,[3x-1+2(2x+3)][3x-1-2(2x+3)]=0,(3x-1+4x+6)(3x-1-4x-6)=0,(7x+5)(-x-7)=0,于是得7x+5=0或-x-7=0.点拨:利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程变形为右边为0的形式;(2)将方程左边因式分解;(3)令方程左边的每个因式为0,转化为两个一元一次方程;(4)分别解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.分解因式时,要根据情况灵活运用学过的分解因式的几种方法.123451.方程x2-x=0的根是(

)A.x=0 B.x=1C.x1=0,x2=1 D.x=-1C123452.用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成两个一元一次方程,下列分解中正确的是(

)A.x-5=0,x+2=0 B.x-1=3,x-2=4C.x-1=2,x-2=6 D.x+5=0,x-2=0A123453.一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为