分式的基本性质 课件-2025-2026学年湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册第2章

分式2.1.2分式的基本性质1.理解并掌握分式的基本性质；（重点）2.会运用分式的基本性质进行分式的约分.（难点）#2.1.2分式的基本性质（七年级数学课件+教案）##一、幻灯片分页内容（可直接复制制作PPT）###第1页：标题页-标题：2.1.2分式的基本性质-副标题：——分式变形的核心依据-作者：XXX（教师姓名）-班级：七年级（X）班-日期：XXXX年XX月XX日###第2页：学习目标1.理解分式的基本性质，能准确表述性质的内容2.掌握利用分式基本性质进行分式变形（约分、通分）的方法3.能灵活运用分式基本性质解决字母取值、分式化简等问题4.体会类比思想（分数→分式）和转化思想在数学中的应用###第3页：复习回顾1.分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变。用式子表示为：$\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}=\frac{a÷c}{b÷c}$（$c≠0$）2.分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，$B$含字母且$B≠0$）的式子叫做分式3.思考：分数有基本性质，分式是否也有类似的性质？（引出课题）###第4页：情境导入与性质推导1.观察下列分数的变形，思考依据是什么？-$\frac{2}{3}=\frac{2×4}{3×4}=\frac{8}{12}$-$\frac{12}{18}=\frac{12÷6}{18÷6}=\frac{2}{3}$（依据：分数的基本性质）2.类比迁移：分式$\frac{a}{b}$（$b≠0$），若分子分母同乘一个不为0的整式$c$，分式的值是否改变？-举例：$\frac{1}{x}=\frac{1×2}{x×2}=\frac{2}{2x}$（$x≠0$，$2≠0$）-$\frac{2a}{3b}=\frac{2a÷a}{3b÷a}=\frac{2}{3b/a}$（$a≠0$，$b≠0$）3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：$\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$（其中$A$、$B$、$C$是整式，且$B≠0$，$C≠0$）4.关键词：同乘（或除以）、不等于0的整式、值不变###第5页：性质解读与注意事项1.核心条件：$C≠0$（整式$C$不能为0，否则分母会变为0，分式无意义）2.变形对象：分子和分母同时变形，不能只变分子或只变分母3.变形依据：保持分式的值不变（仅形式改变，本质不变）4.拓展：$C$可以是单项式（如$2x$）、多项式（如$x+1$），但需保证$C≠0$5.反例警示：-错误：$\frac{x}{y}=\frac{x×0}{y×0}$（$C=0$，无意义）-错误：$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)×2}$（只变分母，值改变）###第6页：利用分式基本性质进行约分（重点）####1.约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分####2.约分的步骤：1.找公因式：找出分子与分母的公因式（系数的最大公约数+相同字母的最低次幂+相同多项式的最低次幂）2.去公因式：分子与分母同时除以公因式，得到最简分式####3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（约分的最终目标）####4.例题1：约分$\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$-步骤1：找公因式：系数12和18的最大公约数是6；相同字母$a$（最低次幂$a^1$）、$b$（最低次幂$b^2$）；公因式为$6ab^2$-步骤2：约分：$\frac{12a^2b^3÷6ab^2}{18ab^2÷6ab^2}=\frac{2ab}{3}$-结果：$\frac{2ab}{3}$（最简分式）####例题2：约分$\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$-步骤1：因式分解：分子$x^2-4=(x+2)(x-2)$；分母$x^2+4x+4=(x+2)^2$-步骤2：找公因式：$(x+2)$-步骤3：约分：$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}=\frac{x-2}{x+2}$（分子分母同时除以$(x+2)$，$x≠-2$）###第7页：利用分式基本性质进行通分（重点）####1.通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分####2.通分的关键：确定几个分式的最简公分母####3.最简公分母的确定方法：1.取各分母系数的最小公倍数2.取各分母所有字母（或多项式）的最高次幂3.组合：将最小公倍数与最高次幂相乘，即为最简公分母####4.例题3：通分$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$-步骤1：找最简公分母：系数2和4的最小公倍数是4；字母$x$（最高次幂$x^2$）、$y$（最高次幂$y^2$）；最简公分母为$4x^2y^2$-步骤2：通分：-$\frac{1}{2x^2y}=\frac{1×2y}{2x^2y×2y}=\frac{2y}{4x^2y^2}$-$\frac{3}{4xy^2}=\frac{3×x}{4xy^2×x}=\frac{3x}{4x^2y^2}$####例题4：通分$\frac{2}{x-1}$和$\frac{3}{x+2}$-步骤1：找最简公分母：分母为多项式$(x-1)$和$(x+2)$，无公因式，最简公分母为$(x-1)(x+2)$-步骤2：通分：-$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)}=\frac{2x+4}{x^2+x-2}$-$\frac{3}{x+2}=\frac{3(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\frac{3x-3}{x^2+x-2}$###第8页：综合例题讲解例5：先约分，再通分$\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}$和$\frac{x+3}{x-3}$-步骤1：对第一个分式约分：-分子$x^2-9=(x+3)(x-3)$；分母$x^2-6x+9=(x-3)^2$-约分后：$\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}$-步骤2：通分：两个分式约分后为同一个分式，最简公分母为$(x-3)$，通分结果均为$\frac{x+3}{x-3}$例6：已知分式$\frac{2x-4}{x^2-4}$，（1）约分；（2）当$x$为何值时，约分后的分式有意义？-解：（1）约分：$\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{2}{x+2}$（$x≠2$）-（2）约分后的分式$\frac{2}{x+2}$有意义的条件：$x+2≠0$→$x≠-2$-注意：原分式有意义的条件是$x≠±2$，约分后需结合原分式的取值限制###第9页：易错点警示1.忽略$C≠0$的条件：如$\frac{x}{x+1}=\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}$，未注明$x≠1$2.约分不彻底：如$\frac{x^2-4}{x^2+2x}=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}$，未约去$(x+2)$，应化为$\frac{x-2}{x}$3.最简公分母确定错误：如通分$\frac{1}{x^2-1}$和$\frac{1}{x-1}$，误将最简公分母定为$x-1$，正确应为$(x+1)(x-1)$4.约分后忽略原分式的取值限制：如例6中，约分后分式有意义的条件是$x≠-2$，但原分式中$x≠2$，需同时满足###第10页：课堂练习（分层）####基础题（必做）1.填空：-$\frac{a}{b}=\frac{()}{bc}$（$c≠0$）→

答案：$ac$-$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{()}$→

答案：$x$2.约分：-（1）$\frac{15xy^2}{25x^2y}$→

答案：$\frac{3y}{5x}$-（2）$\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}$→

答案：$\frac{x+4}{x-4}$3.通分：-（1）$\frac{1}{3x}$和$\frac{1}{6x^2}$→

答案：$\frac{2x}{6x^2}$，$\frac{1}{6x^2}$-（2）$\frac{3}{x-2}$和$\frac{2}{2-x}$→

答案：$\frac{3}{x-2}$，$\frac{-2}{x-2}$（提示：$2-x=-(x-2)$）####提升题（选做）1.约分：$\frac{(x-y)^3}{(y-x)^2}$→

答案：$x-y$（提示：$(y-x)^2=(x-y)^2$）2.通分：$\frac{1}{x^2-4}$和$\frac{x}{x^2-4x+4}$→

答案：$\frac{x-2}{(x+2)(x-2)^2}$，$\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)^2}$3.已知$\frac{a}{b}=2$，求$\frac{a^2+ab}{b^2}$的值（提示：利用分式基本性质变形，答案：6）###第11页：课堂小结1.核心性质：分式的基本性质（同乘/除以不为0的整式，值不变）2.两大应用：-约分：找公因式→约去→化为最简分式（分子分母无公因式）-通分：找最简公分母→同乘变形→化为同分母分式3.关键技巧：-约分前先因式分解（分子分母为多项式时）-最简公分母：系数最小公倍数+字母/多项式最高次幂4.数学思想：类比思想（分数→分式）、转化思想（异分母→同分母）###第12页：布置作业1.基础题：课本习题2.1第4、5、6题2.提升题：-（1）约分：$\frac{2x^2y-4xy^2}{x^2-4xy+4y^2}$→

答案：$\frac{2xy}{x-2y}$-（2）通分：$\frac{x}{x^2-9}$和$\frac{1}{x^2+6x+9}$→

答案：$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)^2}$，$\frac{x-3}{(x-3)(x+3)^2}$3.思考题：若$\frac{x}{y}=3$，求$\frac{x^2+2xy-3y^2}{x^2-xy+y^2}$的值（提示：分子分母同时除以$y^2$，答案：$\frac{12}{7}$）###第13页：结束页-感谢观看！-疑问解答：XXX（教师联系方式）##二、配套教案（详细教学过程）###课题：2.1.2分式的基本性质###教学目标：1.知识与技能：理解分式的基本性质，掌握分式约分、通分的定义和方法，能熟练进行分式的约分和通分，能解决与分式变形相关的综合问题2.过程与方法：通过类比分数的基本性质，探究分式的基本性质，培养学生的类比推理能力；通过约分、通分的练习，提升学生的因式分解能力和代数式变形能力3.情感态度与价值观：感受数学知识的内在联系，体会类比思想的实用性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的思维习惯和主动探究的意识###教学重难点：-重点：分式的基本性质，分式的约分和通分方法-难点：最简公分母的确定（尤其是分母为多项式的情况），约分后分式有意义的条件限制###教学准备：-多媒体课件（上述幻灯片内容）-课堂练习单（打印分层练习题）-预习任务单（提前让学生复习分数的基本性质和因式分解）###教学过程：####一、复习导入（5分钟）1.回顾旧知：-提问1：同学们，我们学过分数的基本性质，谁能说说它的内容？用式子怎么表示？（学生口答，教师板书分数的基本性质）-提问2：什么是分式？分式有意义的条件是什么？（学生回答，巩固分式的定义和有意义的条件）2.类比引入：-教师：分数有基本性质，能进行约分、通分等变形，分式作为分数的“代数推广”，是否也有类似的性质？今天我们就来学习分式的基本性质（板书课题）####二、探究新知（20分钟）###（一）分式的基本性质推导与解读（7分钟）1.推导性质：-出示课件第4页的分数变形例子，引导学生回忆分数基本性质的核心：“同乘/除以不为0的数，值不变”-类比迁移：将分数中的“数”换成“整式”，引导学生猜想分式的基本性质-教师板书分式的基本性质，强调式子表示中的条件：$B≠0$，$C≠0$（整式$C$不能为0）2.性质解读：-出示课件第5页的注意事项，逐一讲解：-关键条件$C≠0$：举例说明若$C=0$，分式会无意义-变形要求：分子分母同时变形，不能单独变形-变形本质：值不变，仅形式改变-让学生判断反例的错误之处，强化对性质的理解###（二）分式的约分（6分钟）1.定义与步骤：-教师：类比分数的约分，给出分式约分的定义：约去分子分母的公因式，化为最简分式-板书约分步骤：找公因式→约去公因式→得到最简分式-强调：分子分母为多项式时，需先因式分解，再找公因式2.例题讲解：-出示例题1（$\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$）：教师板书完整步骤，重点讲解公因式的寻找方法（系数最大公约数+相同字母最低次幂）-出示例题2（$\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$）：先引导学生因式分解分子分母，再找公因式$(x+2)$，最后约分，强调最简分式的特征（分子分母无公因式）-学生模仿练习：约分$\frac{9x^2y}{15xy^3}$（指名板演，教师纠错）###（三）分式的通分（7分钟）1.定义与关键：-给出通分的定义：将异分母分式化为同分母且与原分式相等的分式-强调通分的关键：确定最简公分母（类比分数的最小公倍数）2.最简公分母的确定方法：-板书确定步骤：系数最小公倍数+字母/多项式最高次幂→组合-分情况讲解：-分母为单项式（如例题3）：直接按步骤确定-分母为多项式（如例题4）：先因式分解，再取各因式的最高次幂3.例题讲解：-出示例题3（$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$）：教师板书最简公分母的确定过程和通分步骤-出示例题4（$\frac{2}{x-1}$和$\frac{3}{x+2}$）：重点讲解分母为互异多项式时，最简公分母为它们的乘积，通分时分子需相应乘对方的分母-学生模仿练习：通分$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x+1}$（指名板演，教师点评）####三、巩固练习（12分钟）1.基础题练习（8分钟）：-出示课堂练习单上的基础题，让学生独立完成，教师巡视，重点关注：-约分题中多项式的因式分解是否正确-通分题中最简公分母的确定是否准确（尤其是第3题中$2-x$与$x-2$的关系）-集体订正：针对易错题目（如通分$\frac{3}{x-2}$和$\frac{2}{2-x}$）进行详细讲解，强调符号转化2.提升题练习（4分钟）：-让学有余力的学生尝试完成提升题，鼓励小组合作讨论-指名分享解题思路（如第1题中$(y-x)^2$与$(x-y)^2$的关系，第3题中利用分式基本性质将分子分母同时除以$b^2$），教师补充讲解，拓展学生思维####四、课堂小结（2分钟）1.学生自主总结：-提问：今天我们学习了分式的什么性质？它有哪些应用？约分和通分的关键是什么？（让学生自由发言）2.教师梳理升华：-核心内容：分式的基本性质（同乘/除以不为0的整式，值不变）-两大应用：约分（化为最简分式）、通分（化为同分母分式）-关键技巧：因式分解是约分和通分的基础，最简公分母的确定是通分的核心-注意事项：变形时需保证$C≠0$，约分后需考虑原分式的取值限制-数学思想：类比思想（分数→分式）、转化思想（多项式→因式分解→单项式）####五、布置作业（1分钟）1.基础题：课本习题2.1第4、5、6题（巩固约分和通分的基本方法）2.提升题：约分和通分的综合题（强化因式分解与分式变形的结合）3.思考题：分式求值问题（引导学生利用分式基本性质进行整体代换，为后续分式的运算做铺垫）###板书设计：```2.1.2分式的基本性质一、分式的基本性质$\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}=\frac{A÷C}{B÷C}$（$B≠0$，$C≠0$）-核心：同乘/除以不为0的整式，值不变二、约分1.定义：约去分子分母的公因式→最简分式2.步骤：因式分解→找公因式→约去例1：$\frac{12a^2b^3}{18ab^2}=\frac{2ab}{3}$例2：$\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}=\frac{x-2}{x+2}$三、通分1.定义：异分母→同分母（值不变）2.关键：找最简公分母（系数最小公倍数+最高次幂）例3：$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$→最简公分母$4x^2y^2$例4：$\frac{2}{x-1}$和$\frac{3}{x+2}$→最简公分母$(x-1)(x+2)$四、易错点1.忽略$C≠0$2.约分不彻底、通分公分母错误3.忽略原分式的取值限制```分数的基本性质

分数的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的数，分数的值不变.2.这些分数相等的依据是什么？1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？相等做一做：填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据.（1）（2）

8991分式的基本性质1

想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为

0

的多项式，所得分式与原分式相等.从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以它们的一个不为

0

的公因式，所得分式与原分式相等.①对于分式

，若

h

不为

0，则

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为0的公因式)，所得分式与原分式相等.知识要点思考下列关于分式的等式是否成立？为什么?

例1填空：看分母如何变化，想分子如何变化.看分子如何变化，想分母如何变化.想一想：(1)中为什么不给出

x≠0，而(2)中却给出了

b≠0?典例精析例2根据分式的基本性质填空：想一想：运用分式的基本性质应注意什么?(1)“都”(2)“同一个”(3)“不为

0”

a2-

1x2x-

3解：(1)例3

不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.(1)(2)分式的约分2利用分式的基本性质填空，并说明理由.