2024届浙江省嘉兴某中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2024届浙江省嘉兴一中高考数学考前最后一卷预测卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数二满足z-（l-i）=i,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若复数（2a+i）（l+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数2为（）

八11

A.—2B.2C.---D.一

22

3.已知耳、后是双曲线£-4=1（。>0,〃>0）的左右焦点，过点尸2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一

a-b-

条渐近线于点“，若点M在以线段月入为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（2,转）B.（5/3,2）C.（y/2,y/3）D.（I,板）

4.如图，圆。是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与边相切于点。，点M为圆上任意一点，

BM=xBA+yBD（x9yGR）,则2x+y的最大值为（）

A.y/2B.5/3C.2D.2>/2

5.已知函数/（x）=x+e…，g（x）=ln（x+2）-4e“，其中。为自然对数的底数，若存在实数七，使

/（%）—g（毛）=3成立,则实数。的值为（）

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

6.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（）

A.S>1B.s>2C.S>lg99D.S>lg98

x-2,(x>10)

7.设/(x)=〈，则”5)=()

/[/(x+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

8.已知函数/(x)=—匚-3+迦吧-。在区间(1,+8)上恰有四个不同的零点，则实数4的取值范围是()

Inxx

A.(e,3)J(3,-KO)B.[0,e)C.(/,+co)D.(-oo,e)U{3}

22

9.设E,8分别是椭圆E:二+二=IS＞人＞0)的左、右焦点，过鸟的直线交椭圆于A,3两点，且AB•AE=0,

b~

AF2=2F2B,则椭圆E的离心率为()

AA•2B„•2rL•1V5On•1

3434

10.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外

切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求

得〃的近似值，他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种乃值的表达式纷纷出现,

使得乃值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式：q=,根据该公式绘制出了

2Ix3x3x5x5x7x

估计圆周率兀的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的T＞2.8,若判断框内填入的条件为

kN"?,则正整数〃7的最小值是

A=1.7=2

2A

k=k+1

C.4D.5

11.如图是2017年第一季度五省尸情况图，则下列陈述中不正确的是（）

装

〉

舟

平

班

上

把

酱

叵

时

川

Ur

[―一与去年同期帕比阴长率

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.与去年同期相比，2017年第一季度的GOP总量实现了增长.

C.2017年第一季度GOP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.

12.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

o

不6收口不“

06

B.04■

■■

不共事共事

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.x-3（x+2）6的展开式中的常数项为.

14.曲线丁二工以拈工在工二工处的切线的斜率为________.

3

15.已知。,Z?wR,复数z=a-i且二=1+〃（i为虚数单位），则,|z|=.

16.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”

借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还

差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为_______元.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知抛物线。：>2=2/“（〃>0）的焦点为产，点夕（2,〃）（〃〉0）在抛物线。上，归月=3,直线/过点

F,且与抛物线C交于A,4两点.

（1）求抛物线C的方程及点P的坐标；

（2）求P4.P8的最大值.

18.（12分）如图，正方形八48所在平面外一点满足其中E、尸分别是A9与的中点.

P

（1）求证：EF1PC；

（2）若A8=4,PE=PF=2瓜,且二面角P-EF-C的平面角的余弦值为泮，求8C与平面庄厂所成角的

正弦值.

19.（12分）已知等比数列｛q｝,其公比q>1,且满足％+。3=12,〃2和内的等差中项是L

（I）求数列｛%｝的通项公式；

M+,

（II）若包=。是数列｛包｝的前〃项和，求使Tn-n2414=0成立的正整数〃的值.

20.（12分）已知曲线C：二十2_=1,直线/：（/为参数）.

149[y=2-2r,

（I）写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程；

（H）过曲线。上任意一点?作与/夹角为3伊的直线，交/于点4,|尸山的最大值与最小值.

21.（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单

fx=-l+fcoscr

位.已知曲线C的极坐标方程为〃=2cos。，直线/的参数方程为4（，为参数，a为直线的倾斜角）.

[y=/sin6Z

（1）写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C有唯一的公共点，求角〃的大小.

22.（10分）己知△ABC的两个顶点A.B的坐标分别为（—夜,0）,（叵,0）,圆E是△ABC的内切圆，在边AC.BCAB上的

切点分别为PQRJC尸|=2_&，动点C的轨迹为曲线G

（1）求曲线G的方程；

（2）设直线/与曲线G交于M,N两点点。在曲线G上,0是坐标原点0例+ON=。。,判断四边形OMDN的面积是

否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

求出复数z,得出其对应点的坐标，确定所在象限.

【详解】

由题意z=7!一==一!+占,对应点坐标为（一?，!）,在第二象限.

1-1（1-1）（14-1）2222

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题.

2、D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为。求得。值.

【详解】

解：・.（2a+i）（l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在复平面内所对应的点在虚轴上，

.\2a-l=0,即@=一.

2

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3、A

【解析】

双曲线4-4=1的渐近线方程为产±2、，

arb-a

不妨设过点Fi与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-（x-c）,

a

brhe

与y=----x联立，可得交点M（不，-—）,

a22a

・・•点M在以线段FiFi为直径的圆外，

/b2c2

.\|OM|>|OFi|,即有一+—->c*,

44a2

>3,即b】>3ai,

a

Ac1-a^Sa1,即c>la.

则e=->L

a

・・・双曲线离心率的取值范围是（1,十8）.

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,

c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的

坐标的范围等.

4、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到gx/用氏x〃=S=gxA3xACxsin60°,

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B(-V3J)),C(>/3J))M(0,3),D(0,()),M(cos^l+sin<9)

BM=(cos+V3,1+sinBA=(^,3),BD=(V3,0)

故得到BM=(cos0+J5,l十sinO)=(J5x+

故得到cos0=y[3x+出y-5/3,sin0=3x-1

1+sin。

x=-------

3八cos3sin。42..、4,八

2x+y=--j=-+----+—=—sin（/，z+°）+—W2.

cos6sin。2\/33333

‘G33

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

5、A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+ex'a-In(x+1)+4eax,

A/、1x+l

令y=x-In(x+1),v=1---------=-------,

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(・L-1)上是减函数，(T,+co)上是增函数，

故当x=-1时，y有最小值-1-0=-1,

而e'-a+4ea-24,(当且仅当e、-a=4ea-x,Bpx=a+lnl,等号成立)；

故f(x)-g(x)>3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；

x=a+lnl=-1,即a=-l-lnl.故选：A.

6、C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg24-lg-=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

•••■•

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

100

第九十九次，i=99,S=lg99+lg——=lg!00=2,

99

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

7、B

【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求应10内的函数值，代入即可求出其值.

【详解】

x—2(x>10)

/[/(x+6)](x<10)>

•V(5)=/[f(l)1

=/(9)=/]/(15)1

=f(13)=1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题.

8、A

【解析】

Y3/7InXX3/7Inxx

函数/")=——3+------。的零点就是方程——3+上一一。=0的解，设g(x)="，方程可化为

InxxInxxinx

(g(x)-3)(g(x)—a)=0,即g(x)=3或小x)=%求出g(x)的导数g'(x),利用导数得出函数的单调性和最值，由

此可根据方程解的个数得出。的范围.

【详解】

由题意得广匚一3+生廿-。=()有四个大于1的不等实根，记晨幻=”,则上述方程转化为

InxxInx

(3)

(gQ)-3)十。--1=0,

Ig(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因为g(1)=],当xe(l,e)时，g'(x)<0,g("单调递减；当x«e,+o。)时，g'(x)>(),g(x)单调递增;

(inX)

所以g(力在x=e处取得最小值，最小值为g(e)=e.因为3>e,所以g(x)=3有两个符合条件的实数解，故

Y3〃Inv

f(x)=-—―3+-~^一。在区间(1,+00)上恰有四个不相等的零点，需。>6且。工3.

Inxx

故选：A.

【点睛】

本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本

题考查了学生分析问题解决问题的能力.

9、C

【解析】

根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出出。关系，求出离心率.

【详解】

-AF2=2F2B

设二x,贝!]AK=2x

由椭圆的定义，可以得到4片二2。-2居8月二2。一元

\AF^AF2=(),.•.Aa_LA8

在中，有(2。一+(3x『二伽7『，解得

,广2。，厂4。

4月=—,=—

2313

在Rl△八百E中，有知同”)2

整理得「得』合4

故选C项.

【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出0c关系，得到离心率.属于

中档题.

10、B

【解析】

7OQ

初始：k=l,7=2,第一次循环：7'=2x±x±=^<2.8,k=2,继续循环；

133

第二次循环：7=?X!X2=与>2.8,k=3,此时7>2.8,满足条件，结束循环，

33545

所以判断框内填入的条件可以是Z23?,所以正整数〃7的最小值是3,故选B.

11、C

【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.

【详解】

对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；

对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确;

对于C选项；2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是；江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5

省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；

对于D选项：去年同期河南省的GDP总量4067.4x—!—«3815.57<4000,故D正确.

1+6.6%

故选：C.

【点睛】

本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.

12、D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、160

【解析】

先求(x+2成的展开式中通项，令x的指数为3即可求解结论.

【详解】

解：因为(x+2)6的展开式的通项公式为：

令6—r=3,可得/'=3；

/.x~\x+2)6的展开式中的常数项为：23・C；=160.

故答案为：160.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题.

1」叵

26

【解析】

7T

求出函数的导数，利用导数的几何意义令x=即可求出切线斜率.

【详解】

y=/(x)=xcos%,

/./,(x)=cosx-xsinx,

/7ry71K.711也无

:.f—=cos---------sin—=-------------,

⑴33326

即曲线y=xcosx在x=£处的切线的斜率%=,一叵.

326

故答案为，叵

26

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.

15、ab=-6\z\=\/10

【解析】

•••复数z=a-i且工=1+庆

l+z

.a-i(6/-0(1-0(〃-1)一(〃+1»

..------=------------------=-----------------------=1+/，

：.ab=-6,回=/+㈠)?二回

故答案为—6,J16

16、753

【解析】

根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可

【详解】

设共有x人，

由题意知8x-3=7x+4,

解得x=7,可知商品价格为53元.

即共有7人，商品价格为53元.

【点睛】

本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)y=4xt*2,2直)；(2)1.

【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

(2)设直线，的方程为：x+my-1=0,代入V=4x,y2+4my-4=0,设A(xi,ji),B(如也)，则31+力=・

2

4/〃，jij2=-4,xi+X2=2+4m,x\xi=A,PA=(%-2,y}-2\/2),PB=(4-2,y2-2\/2),由此能求出PAPB

的最大值.

【详解】

(1)•・•点尸是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，P(2,J0)是抛物线上一点，|PP|=3,

A2+—=3,

2

解得：P=2,

・・・抛物线。的方程为V=4x,

・・,点P(2,/I)(//>())在抛物线C上，

，“2=4x2=8,

由〃>0,得〃=20,：,P(2,20).

(2)VF(1,0),・•・设直线，的方程为：x+mj-1=0,

代入y2=4x,整理得，y2+4my-4=0

设A(X|,Jl),B(X2,J2)>

则Ji,也是俨+4〃？-4=0的两个不同实根，

••yi+yi=-4m,y\yi=-4,

xi+xi=(1-my\)+(1-myi)=2-m(ji+jz)=2+4/n2,

xiX2-<1-my\)(1-myi)-1-m(JI+JZ)-1+4〃/-4m2-1,

PA=(X,—2,y(—25/2),PB=(X2-2,—2A/2)>

PA，PB=(xi-2)(4-2)+(y1-2\/2)(y2-2\/2)

=xix2-2(X1+X2)+4+y%一2&()'I+),2)+8

=1-4-8m2+4-4+872w+8

=-8m2+8y/2，〃+5

=-8)2+l.

2

，当m=时，取最大值L

2

【点睛】

本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考

查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

18、(1)证明见解析(2)

11

【解析】

(1)先证明EF1平面P。。，即可求证$_LPC；

(2)根据二面角。一£/一。的余弦值，可得PC_L平面人3c。，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量

计算线面角即可.

【详解】

(1)连接AC,交EF于点0,

连结P0.则EF1PO,EF14cPOnAC=Ot

故耳'_1_面夕。。.

又PCu面POC,

因此砂，尸C.

(2)由(D知NPOC即为二面角P—E/一C的平面角，

且FO=g,PO=后，0C=3五・

在中应用余弦定理，得PC=dPO2+OC?—2PO•OC•cos/POC=2，

于是有PC2+OC2=P02

即PC_LOC,从而有PCJ_平面ABC。.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),mo,2),B(0,4,0),EQ,4,0),F(4,2,0),

于是PE=(2,4,-2),PF=(4,2,-2)，CB=(0,4,0),

设平面尸石厂的法向量为机=(x,y,z),

m-PE=()2x+4y-2z=0

则即《,解得x=y

m-PF=O4x+2y-2z=0

于是平面PEF的一个法向量为m=(1,1,3).设直线BC与平面PEF所成角为氏因此

“-CBm4VTT

sin6=cos<CB,m>=----：-------=------f==-----.

\CB\-\m\4xVH11

【点睛】

本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.

19、(I)an=2".(II)H=3.

【解析】

(I)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(n)〃“=〃%=〃♦2”,

由数列的错位相减法求和可得了“，解方程可得所求值.

【详解】

(I)等比数列｛〃；｝,其公比”1,且满足4+仆二12,/和〃4的等差中项是10

即有〃闻+〃闻2=]2,20=4+&=

解得：4=9=2，4=2"

(11)由(1)知：bn=nan=n-T

则7；,=1.2+2-22+3-23+---+A?-2M

27；,=1-22+2-23+3-24+---+A/-2,,+,

相减可得：—T=2+2?+23+…+2“_〃・2向:20-2)_〃.2〃+i

“1-2

化简可得：7；=2+(〃-1>2向

刀,一小2"+1+14=0,即为16-2向=0

解得：〃=3

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档

题.

20、⑴x=2cos仇2f-。；(ID最大值2为2^竽/5，最小值为以竽尺.

【解析】

rvX—2COS0,

试题分析：(1)由椭圆的标准方程设厂cos*=si®得椭圆的参数方程为｛,,=3sina，消去参数,即得直线的

普通方程为2工+)，-6=0；(11)关键是处理好|斜与角30。的关系.过点？作与/垂直的直线，垂足为〃，则在"〃4

中，=故将|PA|的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点P(2cos。，3sin。)到定直线2x+y-6=0

的最大值与最小值问题处理.

工=2cos。，

试题解析：(1)曲线c的参数方程为｛一“，("为参数”宜细的普通方程为=

(ID曲线C上任意一点P(2cos0,3sin。)到/的距离为d=4j4cos8+3sine—6|・则

|PA\=.0=|5sin(6>+«)-6|.其中。为锐角，且tana=g.

当sin("+a)=-l时，归小取到最大值，最大值为后5

当sin3+a)=l时，|尸山取到最小值，最小值为25.

115

【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形.

TT7T

21、(1)当。二一时，直线/方程为1=一1；当aw-时，直线/方程为

22

j=(x+l)tana；x2+y2=2x(2)g或包.

66

【解析】

(1)对直线/的倾斜角分类讨论，消去参数/即可求出其普通方程；由夕2=x2+),2,pcose=X,即可求出曲线C的

直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程代入曲线。的直角坐标方程，根据条件4=0,即可求解.

【详解】

7T

(1)当&=勺时，直线/的普通方程为*=-1,

2

7T

当。wg时，消去参数/得

2

直线/的普通方程为y=(x+l)tana.

由〃=2cos8,得p2=2pcos8,

所以3+),2=〃，即为曲线。的直角坐标方程.

(2)把X=