2026届天津市滨海新区大港八中高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2026届天津市滨海新区大港八中高二数学第一学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正方体中，E、F分别是与的中点，则直线ED与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（）A.48 B.36C.24 D.183．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.4．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.5．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A B.C. D.6．等比数列的各项均为正数，且，则（）A.5 B.10C.4 D.7．在等差数列中，若，则的值为（）A. B.C. D.8．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（）A.或11 B.或10C.或12 D.或119．已知函数在处的导数为，则（）A. B.C. D.10．我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）A. B.C. D.111．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.40012．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. B.C.＋1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知与所在平面垂直，且，，，点P、Q分别在线段BD、CD上，沿直线PQ将向上翻折，使D与A重合．则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为______14．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.120.1该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________.(结果用小数表示)15．已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.16．围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值18．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值19．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点（1）求双曲线的标准方程；（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点(1)求抛物线的方程；(2)求的面积.21．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数（1）求直线和曲线的普通方程；（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求22．（10分）已知数列满足（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,D,D1点的坐标，利用向量求法求解【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.2、B【解析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.【详解】从中选一个数字，有种方法；从中选两个数字，有种方法；组成无重复数字的三位数，有个.故选：B3、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.4、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B5、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A6、A【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A7、C【解析】利用等差数列性质可求得，由可求得结果.【详解】由等差数列性质知：，，解得：；又，.故选：C.8、A【解析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为两条平行线与之间的距离是2，所以，或，故选：A9、C【解析】利用导数的定义即可求出【详解】故选：C10、C【解析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得，建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛物线的方程，将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离【详解】设AB，CD的交点为，连接PO，由题意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由题意OB=OP=OC=2，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示∶可得∶，设抛物线的方程为y2=mx，将C点坐标代入可得，所以，所以抛物线的方程为∶，所以焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到其准线的距离为故选：C11、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B12、A【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】取的中点，的中点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据求出，再由空间向量的数量积即可求解.【详解】取的中点，的中点，如图以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，由，即，解得，所以，故，设为平面ACQ的一个法向量，因为，，由，即，所以，设直线AP与平面ACQ所成角为，则.故答案为：14、84【解析】先求出该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率，由对立事件的概率可得答案.【详解】该选手射击一次，命中的环数低于9环的概率为该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率为所以他至少命中一次9环或10环的概率为故答案：0.8415、【解析】求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.【详解】因，，则，因与同向，则设，因此，，于是得，解得，则，所以向量的坐标为.故答案为：16、【解析】根据互斥事件与对立事件概率公式求解即可【详解】设“2粒都是黑子”为事件，“2粒都是白子”为事件，“2粒恰好是同一色”为事件，“2粒不同色”为事件，则事件与事件是对立事件，所以因为2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件与互斥，所以，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量、平面的法向量，由二面角的空间向量求法可得答案.【小问1详解】因为四边形是等腰梯形，，所以，所以，即因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面【小问2详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以，，，由（1）可知平面的一个法向量为设平面的法向量为，因为，，所以得令，则，，所以，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18、（1）证明见解析，直线与平面的距离为（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值【小问1详解】解：因为平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因为，因此，平面.所以，平面的一个法向量为，，平面，平面，则平面，所以，直线到平面的距离为.【小问2详解】解：若，则、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，.因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.19、（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.【解析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得【详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或当时，的标准方程为，代入，无解当时，的标准方程为，代入，解得故的标准方程为（2）不能是线段的中点设交点，，当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，则，由得，将代入判别式，所以满足题意的直线也不存在所以点不能为线段的中点20、（1）；（2）【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），运用抛物线的定义，可得23，解得p＝2，进而得到抛物线的方程；（2）由题意，直线AB方程为y＝x﹣1，与y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积【详解】（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且过一点P（2，m），可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦点的距离为3，即有P到准线的距离为6，即23，解得p＝2，即抛物线的标准方程为y2＝4x；（2）联立方程化简，得x2﹣6x+1＝0设交点为A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8点O到直线l的距离d，所以△AOB的面积为S|AB|•d82【点睛】本题考查抛物线的方程的求法及抛物线定义的应用，考查待定系数法的运用，考查求焦点弦AB与原点构成的△AOB面积，属于中档题21、（1），（2）4【解析】（1）根据，即可将直线的极坐标方程转化为普通方程；消参数，即可求出曲线的普通方程；（2）由题意易知，求出直线的参数方程，将其代入曲线的