福建省龙岩市三校2026届高三上学期12月联考数学答案

第1页/共1页“德化三中、大田五中、漳平二中”三校协作2025—2026学年第一学期联考高三数学试题命题人：德化三中陈坚定大田五中林子婳漳平二中朱夏漪（考试时间：120分钟总分：150分）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）部分第Ⅰ卷（选择题）一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的运算法则求解即可.【详解】由题可知，所以；故选：A2.函数的导函数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可.【详解】函数的导函数.故选：C3.函数是偶函数，且定义域是，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用偶函数定义域关于原点对称得到，则；又因为二次函数为偶函数，故一次项系数为0，所以，所以,所以.【详解】因为偶函数的定义域是，所以，得到；因为是偶函数，所以，所以，所以.故选：C4.若实数，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用对数函数的单调性，比较与的大小，再构造函数，，分析其单调性和最值，比较与的大小.【详解】因为，，由，所以，即.设函数，，则，.由；由.即在上单调递增，在上单调递减.所以，所以.所以，即.综上，.故选：A5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式变形化简整理即可.【详解】因为，所以，则.故选：6.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】B【解析】【分析】根据，求出，则【详解】设等差数列的公差为，因为，所以则；故选B7.已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件可得，从而可得，再由正弦函数的周期可得的范围，即可得到结果.【详解】由可得，即，即，则，解得，又，即，其中，解得，所以时，，则.故选：A8.已知，若对于正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断的单调性和奇偶性，结合题意将条件转化为关于的等式关系，再利用“的代换”求出的最小值，最后代入所求式子中即可.【详解】因为，所以，且的定义域关于原点对称，所以是在上的奇函数.又因为，均在上单调递增，所以在上单调递增.因为，则，所以，整理得，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为.又因为，所以的最大值为.故选：二、多择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知，则“”是“”的必要不充分条件B.当时，的最小值为2C.命题“”否定是“”D.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】由幂函数与对数函数的单调性即可判断A，由基本不等式代入计算，即可判断B，由全称命题的否定，即可判断C，由一元二次不等式恒成立，即可判断D.【详解】对于A，由在上单调递增，可得，由在上单调递增，可得，由是的必要不充分条件可得“”是“”的必要不充分条件，故A正确；对于B，因，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，但取不到，所以取不到最小值，故B错误；对于C，全称命题“”的否定是特称命题“”，故C正确；对于D，当时，不等式为，满足条件，当时，不等式的解集为，则需满足，解得，综上所述，实数的取值范围是，故D错误；故选：AC10.函数满足，对任意的都有，则以下说法正确的是（）A.B.是的一个对称中心C.在上单调递减D.曲线在点处的切线方程为【答案】ABD【解析】【分析】因为，对任意的都有，得到周期，从而求出，再利用，得到，所以，依次利用正弦型三角函数的对称中心，单调性分析选项B、C，求曲线在点处的切线方程，先求出切点坐标，再求导计算得到斜率，利用点斜式写出切线方程化简即可.【详解】因为，对任意的都有，所以和是相邻的两个最大值点，所以,故;因为，即,即因为，得，所以，故选项A正确；，所以是的一个对称中心，选项B正确；当时，，此时函数单调递增，选项C错误；因为，所以切点坐标为，函数求导得到，所以切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为化简得，选项D正确；故选：ABD11.已知是函数的极小值点，则（）A.B.若，则C.若，则有3个相异的零点D.方程有3个不同的实数根【答案】ACD【解析】【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可.【详解】对于A，因为，所以，因为是函数的极小值点，所以，可得，解得，故A正确，对于B，因为，所以，则，即，由正弦函数性质得，由余弦函数性质得，由已知得，则，令，，令，，可得在上单调递减，在上单调递增，得到，故B错误，对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增，而，得到，，当时，，当时，，若讨论的零点个数，则讨论的解的个数，故讨论与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，由图象可得，当时，与有3个相异的交点，即有3个相异的零点，故C正确，对于D，令，若求方程的实数根，则先求的解的个数，即求的解的个数，令，则求的零点个数，由已知得在上单调递减，在上单调递增，而，，，，可得，，由零点存在性定理得存在，作为的零点，则是的两个解，后续求解与即可，由已知得在上单调递减，在上单调递增，若，当时，，此时无解，排除，当时，，此时有一个解，当时，，此时有一个解，若，当时，，此时无解，排除，当时，，此时无解，当时，，此时有一个解，综上，方程有3个不同的实数根，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.方程在内解的个数是_________．【答案】2【解析】【详解】同一坐标系内作出函数y=cosx和y=|x|的图象，如右图所示：由图像，得两曲线在(−∞,+∞)内共有2个交点.得方程|x|=cosx在(−∞,+∞)内解的个数是：2个.故答案为2.点睛：函数零点个数问题，一种方法可用导数研究函数的单调性和极值，再利用零点存在定理得函数的零点个数，另一种方法是转化函数图象交点个数，一般是转化为直线与函数图象的交点，其中直线是含参数的、变化的，函数是固定的，且图象画出的，这里可通过导数研究图象的变化趋势，得出图象的大致规律，动直线可以是平行直线，也可以是过一定点的直线，这样容易发现规律，得出结论．13.已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________.【答案】2【解析】【分析】先求出等比数列通项公式，则计算得到数列为：；所以数列是周期为4的数列，所以；【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以；则数列为因为是除以5所得的余数，所以数列为：；所以数列是周期为4的数列，所以；故答案为：214.已知奇函数的定义域为，且函数满足，当时，，则__________.【答案】【解析】【分析】由得到函数对称轴为，结合函数为奇函数，得到函数的最小正周期为8，所以.【详解】因为，所以函数对称轴为，所以，又因为函数为奇函数，所以所以，即函数的周期为8所以，又因为函数对称轴为，所以所以；故答案为：四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角、、的对边分别为、、.已知.（1）求；（2）若，，点在边上，且，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值，根据题意可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.【小问1详解】由两角和的正切公式可得，即，故，因为，故.【小问2详解】由余弦定理可得，即，即，因为，解得，因为点在边上，且，故，在中，，，，由余弦定理可得，故16.已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，记的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，利用累加法即可得出答案；（2）利用错位相加法即可求得答案.【小问1详解】解：因为，则，，，，累加得，所以；【小问2详解】解：，则，则，，两式相减得，所以.17.在中，内角所对的边分别为.（1）求；（2）若的角平分线交于点，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果；（2）由角平分线定理可得，结合余弦定理代入计算，即可求得，再由三角形的面积公式以及等面积法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由正弦定理的边角互化可得，且，即，化简可得，且，解得，其中，所以.【小问2详解】因为是的角平分线，由角平分线定理可得，且，则，即，又，由余弦定理可得，即，解得，则，又，即，化简可得，即.18.已知数列满足，设数列的前项和为，（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前100项和；（3）求数列的前20项和.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）构造数列，知其前项和求通项，进而再求出；（2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和；（3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.【小问1详解】由，设，则，所以当时，，两式相减得，，当时，也适合上式.则，解得，，所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列.【小问2详解】数列的前项和.【小问3详解】由（1）可知，则前项和为.19.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若，，且有两个极值点，分别为和，求的最大值.【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）首先利用极值点与导数的关系，得到，，并通过变形得到，利用换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求的最值，即可求解函数的最大值.【小问1详解】若，，令，得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区