2019年中考等腰三角形专题复习教案

2019年中考等腰三角形专题复习教案一、教学目标（一）知识与技能目标1.系统掌握等腰三角形的定义、性质（等边对等角、三线合一）及判定定理（等角对等边），并能灵活应用于几何推理与计算。2.熟练处理等腰三角形中“边、角、顶点”的分类讨论问题（如边长为腰或底、角度为顶角或底角、顶点不明确的等腰三角形构造）。3.结合全等三角形、勾股定理、方程思想等，解决等腰三角形与其他几何知识的综合应用问题。（二）过程与方法目标1.通过“知识回顾—典例分析—变式训练”的梯度训练，提升逻辑推理、分类讨论、转化建模的数学思维能力。2.经历“问题情境—分析探究—总结规律”的过程，培养从复杂图形中抽象等腰三角形模型的能力。（三）情感态度与价值观目标1.体会等腰三角形在中考中的核心地位，增强几何学习的信心与解题策略意识。2.感受数学的严谨性与灵活性，激发对几何图形探究的兴趣。二、教学重难点（一）教学重点1.等腰三角形性质与判定的精准应用（如“三线合一”的条件识别、等角对等边的逆向推理）。2.等腰三角形分类讨论思想的渗透（边长、角度、顶点的多解性分析）。（二）教学难点1.复杂几何综合题中辅助线的合理添加（如作高、截长补短、构造全等三角形）。2.等腰三角形与函数、动点问题的综合建模（如2019年中考中“等腰三角形存在性”的动态分析）。三、教学过程（一）知识回顾：体系化梳理核心要点1.定义与要素等腰三角形：有两边相等的三角形（相等的边为腰，第三边为底；两腰夹角为顶角，腰与底的夹角为底角）。等边三角形：特殊的等腰三角形（三边相等，三角均为60°）。2.性质定理（“知等腰，得结论”）等边对等角：等腰三角形的两底角相等（∠B=∠C，若AB=AC）。三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（需结合图形明确：若AB=AC，AD平分∠BAC，则AD⊥BC且BD=DC；反之，若AD⊥BC且BD=DC，则AD平分∠BAC）。3.判定定理（“证等腰，用判定”）等角对等边：若三角形的两个角相等，则这两个角所对的边相等（∠B=∠C⇒AB=AC）。等边三角形的判定：三边相等；三角相等（均为60°）；有一个角为60°的等腰三角形。互动提问“请结合图形，用符号语言描述‘三线合一’的条件与结论。若已知等腰三角形的一个角为100°，能否直接用‘等边对等角’？为什么？”（二）典例剖析：2019中考真题导向的深度解析类型1：**角度/边长的分类讨论**例题1（2019·某地中考）：已知等腰三角形的一个内角为50°，求另外两个内角的度数。分析：等腰三角形的内角分为顶角和底角，需分类讨论：若50°为顶角，则底角=(180°−50°)÷2=65°，故另两角为65°、65°；若50°为底角，则顶角=180°−50°×2=80°，故另两角为50°、80°。总结：角度讨论的关键是“顶角≥0°，底角≤90°”（三角形内角和+等腰性质限制）。例题2（2019·另一地中考）：已知等腰三角形的两边长为3和7，求其周长。分析：边长需满足“三角形三边关系”，分类讨论腰长：若腰为3，底为7：3+3=6<7，不满足三边关系，舍去；若腰为7，底为3：7+3>7，满足，周长=7×2+3=17。总结：边长讨论的核心是“腰长+腰长>底长”，需结合三边关系验证。类型2：**“三线合一”的应用**例题3（2019·某地中考改编）：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。分析：由AB=AC、D是BC中点，根据“三线合一”，AD平分∠BAC；又DE⊥AB、DF⊥AC，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得DE=DF。总结：“三线合一”常与角平分线性质、全等三角形结合，核心是转化“线”的位置关系（中线→角平分线/高）。类型3：**综合几何题（与全等、勾股定理结合）**例题4（2019·压轴题片段）：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC中点，DE⊥AB于E，若AB=4，求DE的长。分析：1.由AB=AC、D为BC中点，得AD⊥BC（三线合一），且∠BAD=60°（顶角平分线）；2.在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=60°，则∠ADE=30°，故AE=½AD；3.先求AD：在Rt△ABD中，∠B=30°（等腰三角形底角），AB=4，故AD=½AB=2；4.再求DE：由勾股定理，DE=√(AD²−AE²)=√(2²−1²)=√3。总结：等腰三角形与直角三角形结合时，30°角的性质（30°对的直角边=斜边的一半）和勾股定理是常用工具。（三）变式训练：分层巩固，强化思维基础层（知识巩固）1.等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为______（答案：80°或20°，需讨论外角对应顶角或底角）。2.如图，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，求证：AD=BD=BC（设计意图：强化“等角对等边”与角度计算）。提高层（综合应用）3.（2019·动点问题）在平面直角坐标系中，点A(0,3)，B(3,0)，P为x轴上一动点，若△ABP为等腰三角形，求点P的坐标（设计意图：分类讨论“AB为腰/底”，结合坐标系分析）。（四）方法归纳：等腰三角形解题“三字诀”“分”：分类讨论（边、角、顶点的多解性）；“合”：综合应用（与全等、直角三角形、函数结合）；“转”：转化思想（“三线合一”转化线的位置，方程思想转化角度/边长计算）。（五）作业设计：分层递进，直击中考必做题（基础巩固）1.课本习题改编：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求顶角的度数（分类讨论高在三角形内/外）。2.如图，△ABC中，AB=AC，E为AC延长线上一点，且BE=BC，∠E=50°，求∠BAC的度数（用“等边对等角”+三角形外角性质）。选做题（能力提升）3.（2019·中考压轴题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于C。点P为抛物线上一动点，若△PBC为等腰三角形，求点P的坐标（设计意图：结合二次函数与等腰三角形存在性，强化分类讨论与代数几何综合）。四、教学反思1.学生易错点：分类讨论时遗漏情况（如边长讨论忽略三边关系，角度讨论忽略底角范围），需通过“错题归因”专项训练强化。2.辅助线教学：“三线合一”的辅助线（作高、中线、角平分线）需结合动态演示（如几何画板），帮助学生直观理解“一线三