广东省广州市黄埔区2025-2026学年高一上学期期中教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市黄埔区2025-2026学年高一上学期期中教学质量监测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，所以.故选：D.2.下列各图中，不能表示是的函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误，由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数，故选：B.3.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为不等式的解集为，所以和2是方程的两个根，且，所以，可得，则不等式等价于，即，解得或，故不等式的解集为.故选：C.4.已知：，且，下列不等关系一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误；对于B，可取，满足，但不满足，故B错误；对于C，可取，满足，但，故C错误；对于D，因，而，故必有成立，即D正确.故选：D.5.已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（）A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】C【解析】为奇函数,则，但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数.所以是的充分不必要条件.故选：C.6.已知函数是上的减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，在上单调递减；当时，，要使得函数是上的减函数，需满足，解得，则的取值范围是，故选：A.7.已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，又因为不等式恒成立，所以，即，解得，即，故选：B.8.对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【答案】B【解析】因为，则，又因为，由题意可知：集合至少有2个元素，若集合有2个元素，则集合可以为，共2个；若集合有3个元素，则集合可以为，共2个；若集合有4个元素，则集合可以为，共1个；若集合有5个元素，则集合可以为，共1个；综上所述：集合的“稳定子集”有个.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下满足的集合有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，则所有符合条件的集合A为,,.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC.10.已知正数，满足，则下列结论中正确的是（）.A. B.C.的最小值为 D.与可以相等【答案】ABD【解析】由题设，当且仅当时等号成立，A对；由，当且仅当，即时取等号，B对；由题设，则，而，当且仅当取等号，显然等号不成立，C错；若，即，则，整理得，所以，满足题设，D对.故选：ABD.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（）A.函数满足：B.函数的值域是C.对于任意的，都有D.在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形【答案】AC【解析】由于，对于选项A，设任意，则；设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确，对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误，对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确，对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误，故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】因为，所以函数的定义域满足：，解得：且所以函数的定义域为：.故答案为：.13.已知命题：，都有是真命题，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为命题：，都有是真命题，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14.若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得对任意及恒成立，所以对任意恒成立，即对恒成立，令，则是关于的一次函数，所以只需，即，解得或或，所以实数的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（，且）．（1）若函数的图象过点，求b的值；（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．解：（1），解得.（2）当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.综上：或.16.培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；（2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．解：（1）当时，由题得，解之得；当时，由题得，解之得；所以.所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.（2）当时，水中含有物质N的浓度为ymol/L，则.当且仅当时等号成立.所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3mol/L.所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L.17.已知在上有意义，单调递增且满足．（1）求证：；（2）求不等式的的解集．解：（1）因为，令，得到，所以.（2），又函数在区间上单调递增，所以，解得，所以不等式的的解集为.18.回答下列问题：（1）已知不等式的解集是，求，的值；（2）对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值.解：（1）令，作出函数的图象，如图：因为，的解集是，若，则不等式的解集是两段区域，不合题意，若，由可知此时恒成立，又因为不等式的解集为，所以是方程，即的两根，则，解得或（舍去），综上，，.（2）令，因为当时，的最小值是，最大值是，若在上单调递减，则有，两式相减，得，由于，整理得，则，解得，则，不符合题意；若在上单调递增，则，且，又，解得，与矛盾，舍去；若在上不单调，则由（1）中图象可知，又，从而有，所以满足，即，解得或（舍去）；综上，.19.已知A是非空数集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集．（1）判断集合，，是否为封闭集，并说明理由；（2）判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由；（3）若非空集合是封闭集合，且，求证：不是封闭集．解：（1）对于集合，因为，，所以集合不是封闭集；对于集合，任取，其中，，则，，所以集合