广东省惠州市2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为，所以焦点到双曲线渐近线的距离为.故选：D．3.若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°，所以该直线斜率，即，解得.故选：C.4.若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有已知直线与直线平行，则，即，此时直线与直线，即满足平行，则两直线间距离，故选：D.5.已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当直线l没有斜率时，,与圆不相切.当直线l有斜率时，设直线方程为，由题得或者.所以或者.所以“直线l与圆C相切”成立，则“”不一定成立；“”成立，则“直线l与圆C相切”成立.所以“直线l与圆C相切”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.下列说法正确的是（）A.若，则是钝角；B.直线l的方向向量，平面的法向量，则C.直线l经过点，，则到的距离为D.若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】D【解析】对于A，若，则是钝角或平角，故A错误；对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量，则，故与不共线，即不成立，故B错误；对于C，因为，，，则，，，故到的距离为，故C错误；对于D，假设三个向量共面，则，所以，又是空间的一组基底，所以，无解，即不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确；故选：D.7.、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则=（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】∵，的面积为16，∴，，又，则，即有，∴.故选：C.8.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（）A. ·B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，半圆的方程为，设半椭圆的方程为，则，所以，故半椭圆的方程为，设，则，所以，设，则，所以，故，．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆和圆，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为B.圆上有2个点到直线的距离为C.两圆有两条公切线D.点在圆上，点在圆上，的最大值为【答案】BCD【解析】对于C，因为圆，所以圆心，半径为，因为圆，可化为，所以圆心，半径为，则，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C正确；对于A，两圆作差得，即，所以公共弦所在的直线方程为，故A错误；对于B，圆心到直线的距离为，则，所以圆上有2个点到直线的距离为，故B正确；对于D，，故D正确．故选：BCD．10.如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.直线与平面所成的角为 D.到平面的距离为【答案】ABC【解析】如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，即，故A正确；，，则，且，平面，所以平面，故B正确；，，,，，，，设平面的法向量为，，令，则，所以平面的法向量为，设直线与平面的夹角为，则，所以，故C正确；由B选项可知，平面，所以平面的法向量为，，，,点到平面的距离，故D错误.故选：ABC.11.下列说法正确是（）A.直线的倾斜角的范围是B.方程表示的曲线是双曲线的右支C.已知向量，，则在方向上的投影向量为D.直线恒过定点【答案】AB【解析】对于A，直线的斜率，∴直线的倾斜角的范围是，故A正确；对于B：设，，，则方程等价为，则根据双曲线的定义可知，的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，故B正确；对于C，在方向上的投影向量为，故C不正确；对于D，直线方程整理为：，由，解得，故该直线恒过定点，故D错误；故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】由双曲线标准方程知，则.故答案为：．13.当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________.【答案】【解析】设点，因M是线段的中点，则点，可得，即，所以点M的轨迹方程为.故答案为：.14.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为_________．【答案】【解析】由题意可知：，则，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，，，.（1）求；（2）若与互相垂直，求实数k的值；（3）若，，求的坐标.解：（1）因为，，，，所以，，则.（2）因为，，所以，.又与垂直，所以，解得或.（3）由题可知，，由，知存在实数，使得，即.因为，所以，解得，所以或.16.已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程.解：（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（），因为圆经过，两点，所以，解得，所以圆的方程为.（2）由，可得圆心，半径为，因为直线与圆相交于两点，且，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，即，综上直线的方程为或.17.已知椭圆：的离心率为，焦距为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长.解：（1）∵椭圆：的离心率为，故，又焦距为，故，即有，，则，∴椭圆的方程为.（2）联立，消去整理得，由，则，设，，则，，故，则，化简得，即，满足，故.18.如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）在中，∵分别是中点，∴．又平面，平面，∴平面．（2）因为二面角为直二面角，即平面平面,且,平面平面,所以平面.如图，以点为坐标原点，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．易知平面的法向量．设平面的法向量，则即,取，则，所以所以二面角的余弦值为．（3）存在．设，有，则，∴.又，，，∴，∴．把代入上式得，∴，在线段上存在点，使，此时，．19.二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下:二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到;抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为;故二次函数的焦点坐标为，准线方程为.（1）求二次函数的焦点坐标和准线方程；（2）求二次函数的焦点坐标和准线方程；（3）设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点.是否存在定点，使得三点共线?若存在，请求出定点的坐标;若不存在，请说明理由.解：（1）二次函数，它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；抛物线即焦点坐标为，准线方程为；所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．（2）二次函数，它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；抛物线即焦点坐标为，准线方程为；所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为；即二次函数的焦点坐标为，准线方程为