广西壮族自治区桂林市2025-2026学年高二上学期阶段性教学质量检测（11月）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区桂林市2025-2026学年高二上学期阶段性教学质量检测（11月）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的圆心坐标和半径分别是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可知圆的圆心坐标为，半径为2.故选：B.2.复数的实部和虚部分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】由题意可得，则复数的实部和虚部分别为和.故选：C.3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递增，在上单调递增，所以，，所以，故选：D.4.若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，，得，则该双曲线的渐近线方程为.故选：B.5.已知，则“”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，则；若，则，所以“”是“”的充要条件，A不符合题意.当，时，满足，但不成立，B不符合题意.由，得，则，由，得，但不一定成立，则“”是“”的必要不充分条件，C符合题意.当，时，满足，但不成立，D不符合题意.故选：C.6.已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（）A.3 B. C. D.2【答案】B【解析】由题意可得直线的方程为，即0，则点到直线距离是.故选：B.7.若直线关于直线对称的直线经过点，则（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】设关于直线的对称点为，所以，解得，所以，又因为在直线上，所以，解得，故选：A.8.某甜品店推出新款球形慕斯蛋糕，该球形慕斯蛋糕的半径为3厘米，现需将其放入一个正四面体形状的包装盒，忽略包装盒的厚度，则该包装盒容积的最小值为（）A.立方厘米 B.立方厘米C.立方厘米 D.立方厘米【答案】D【解析】设该包装盒的棱长为厘米，则正三角形外接圆半径为，则该包装盒的高厘米，当蛋糕对应的小球与正四面体内切时，该包装盒的容积最小，由正四面体体积公式可得体积为：，以正四面体内切球球心为顶点，四个面为底面，可将正四面体分成4个小三棱锥，高即为内切球半径，则正四面体体积为：，即解得，此时包装盒容积为立方厘米.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线和直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】由，得，解得或，则A错误，B正确.由，得，解得，则C，D正确.故选：BCD.10.已知椭圆的短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，射线（为坐标原点）交椭圆于点，则（）A.椭圆的方程为B.当为的中点时，直线的斜率为C.当时，直线的方程为D.当轴时，的面积为【答案】AC【解析】A，易知，解得，所以，故A正确；B，设，则，作差得，即，易知，故B错误；C，当时，，则直线为，故C正确；D，当轴时，此时，不妨设，则，所以，易知，与椭圆联立可得，所以，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.是偶函数B.的图象关于点中心对称C.在上单调D.的最大值是【答案】AD【解析】对A：定义域为，因为，所以是偶函数，A正确.对B：因为，，所以，则的图象关于直线对称，B错误.对C：因为，，所以在上不单调，C错误.对D：因为，所以是的一个周期，则的最大值即在上的最大值.当时，，则.设，则，设函数.由解析式可知函数在上单调递增，所以，即，所以，故的最大值是，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线在轴上截距是______．【答案】【解析】令，则，得，则直线在轴上的截距是.故答案为：.13.在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是______.【答案】【解析】由余弦定理可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，因为，在上单调递减，所以，则，所以的面积.故答案为：.14.已知是双曲线的两个焦点，直线与双曲线的右支交于点．若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】联立，消去得.解得（因在右支，取正根），代入得，即.将代入得，设，即，代入化简得：，解得（舍去小于1的根），故.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上，焦距为，实轴长为；（2）过点，离心率为．解：（1）设双曲线标准方程为：，，，双曲线标准方程为.（2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为，，解得：，双曲线标准方程为；当双曲线焦点在轴上时，设其方程为，，解得：，双曲线标准方程为；综上所述：双曲线标准方程为或.16.已知的三个顶点坐标分别为.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）已知过点的直线与轴的正半轴分别交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的一般式方程.解：（1）由题意可得直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为，故边上的高所在直线的方程为，即.（2）由题意可知直线的斜率存在且为负数，则设直线，令，得，则点坐标为，令，得，则点的坐标为，因为的面积为，所以，即所以，所以，即，解得或，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即综上，直线的一般式方程为或17.已知函数.（1）当时，有两个不同实根，，求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；（3）当时，与有相同的零点，求的值.解：（1）当时，令，则，，故.（2）因为对任意的，不等式恒成立，所以解得，即的取值范围是.（3）当时，由，得或.由，得，则.依题意得或，解得或，经检验或的时候与有相同的零点，所以或.18.已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值．解：（1）由题意可知圆心，半径，连接，易知，所以，即点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，不妨设该椭圆的长轴，短轴，焦距分别为，即，则的方程为.（2）显然直线斜率存在，不妨设，，联立直线l与椭圆方程有，整理得，所以，则，由弦长公式可知，原点到l的距离，则，令，则，当且仅当时取得等号，所以（为坐标原点）面积的最大值为.19.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点.①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方