中学竞赛班全等三角形拔高训练

中学竞赛班全等三角形拔高训练全等三角形作为平面几何的基石，既是初中数学的核心内容，更是竞赛舞台上的“常客”——它常与线段和角的计算、特殊图形（如等腰、直角三角形）的性质、甚至圆与函数知识综合，考察学生的逻辑推理、图形构造与转化能力。竞赛中的全等问题往往隐蔽性强、模型复杂，需要在熟练掌握判定定理的基础上，突破“模型识别”与“辅助线构造”的瓶颈。本文将从核心知识梳理、典型模型拆解、解题策略提炼三个维度，为竞赛班学生提供系统性的拔高训练指南。一、核心知识：从“定理应用”到“条件创造”全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是解题的“工具包”，但竞赛题中往往不会直接给出全等的全部条件，需要主动创造对应关系。1.判定定理的“灵活延伸”SSS的“变形式”：若已知两边及其中一边的对角（SSA），通常不唯一，但在钝角三角形或直角三角形中（HL本质是SSA的特殊化），可通过“大边对大角”或“直角限制”确定全等（如：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E=120°，可证全等）。SAS的“隐蔽性”：角的位置需严格“夹在两边之间”，但竞赛中常通过“等角转化”（如对顶角、同角的余角相等）或“角的和差”构造夹角（例：∠BAC=∠DAE，同时减去∠DAC得∠BAD=∠CAE）。2.全等的“传递性”与“组合性”多个全等三角形可通过“公共边/角”传递对应关系（如△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，则△ABC≌△GHI）；也可通过“拼接”形成复杂图形（如两个等腰直角三角形组成“手拉手”模型）。二、典型模型：从“图形特征”到“证明套路”竞赛中全等三角形的核心模型可归纳为“平移、旋转、翻折”三大变换衍生的经典结构，掌握模型的“识别标志”与“证明逻辑”是破题关键。1.旋转型全等（“手拉手”模型）特征：共顶点的两个等腰三角形（或等边、等腰直角三角形），顶角相等，连接对应底角顶点形成全等三角形。示例：△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在AB上，连接CE。证明：∠BAC=∠DAE=60°→∠BAD=∠CAE（同时减∠DAC），又AB=AC，AD=AE→△BAD≌△CAE（SAS）。拓展：旋转角可为任意角（如等腰直角三角形旋转90°，顶角为α的等腰三角形旋转α），结论常涉及线段相等、垂直或夹角等于顶角。2.翻折型全等（“角平分线”与“对称”）特征：沿某条直线（角平分线、中线、高）折叠后重合的三角形，对应边/角关于直线对称。示例：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB>AC，在AB上截取AE=AC，连接DE。证明：AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD→△AED≌△ACD（SAS），从而DE=DC，∠AED=∠C。应用：角平分线+截长补短（构造全等转移线段/角）是竞赛高频考点。3.一线三等角模型（“K型”全等）特征：一条直线上有三个等角（通常为直角或60°/120°角），形成两个三角形全等。示例：在直线l上有A、B、C三点，∠DAB=∠ABC=∠CDE=90°，AD=BC，求证△DAB≌△BCE。证明：∠DAB=∠ABC=90°→∠ADB+∠ABD=90°，∠ABD+∠BCE=90°→∠ADB=∠BCE，结合AD=BC，∠DAB=∠ABC→△DAB≌△BCE（AAS）。拓展：等角可为任意角（如∠DAB=∠ABC=∠CDE=60°），通过“角的和差”推导对应角相等。三、解题策略：从“条件分析”到“辅助线构造”竞赛题的难点在于“条件不足时如何构造全等”，需掌握“辅助线的目的性”——要么“补全条件”（如倍长中线造SAS），要么“转移元素”（如截长补短造SSS/SAS）。1.辅助线构造的“四大技巧”倍长中线：若有中线（或类中线，如中点连线），延长中线至原长的2倍，构造SAS全等，转移线段/角。例：在△ABC中，D为BC中点，E为AC上一点，连接DE并延长至F，使DF=DE，连接BF。则△CDE≌△BDF（SAS），得BF=CE，∠F=∠DEC，从而BF∥AC。截长补短：若需证明“a+b=c”，则“截长”（在c上取一段等于a，证剩余段等于b）或“补短”（延长a至a+b，证与c相等）。例：在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求证AB+BD=AC。方法：在AC上截取AE=AB，证△ABD≌△AED（SAS），得BD=DE，∠B=∠AED；由∠B=2∠C，得∠AED=2∠C=∠C+∠EDC→∠EDC=∠C→DE=EC，故AC=AE+EC=AB+BD。作垂线（高）：在涉及角平分线、直角或等腰三角形时，作高构造HL或AAS全等，转移高对应的线段/角。例：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE⊥BD交BD延长线于E，求证BD=2CE。方法：延长CE、BA交于F，证△BEF≌△BEC（ASA）得CE=EF=½CF；再证△ABD≌△ACF（ASA）得BD=CF，故BD=2CE。构造对称（翻折）：沿角平分线、中线或某条垂线翻折三角形，利用对称性质造全等，简化图形。2.思维方法的“三维突破”逆向思维：从结论出发，分析需要的全等三角形，倒推所需条件（如要证AB=CD，需证△ABX≌△CDY，再找X、Y的位置）。分类讨论：当图形存在多种可能（如点的位置、角的类型），需分情况讨论全等的可能性（如SSA的两种情况）。转化思想：将复杂图形分解为“基本模型+辅助线”，如将四边形转化为两个三角形，利用全等传递关系。四、实战训练：从“例题解析”到“能力提升”1.典型例题解析（以竞赛真题为例）例题1（旋转型+手拉手）：已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，求证：①BD=CE；②BD⊥CE。解析：①找全等条件：∠BAC=∠DAE→∠BAD=∠CAE（减∠DAC），AB=AC，AD=AE→△BAD≌△CAE（SAS）→BD=CE。②由△BAD≌△CAE得∠ABD=∠ACE，设BD交AC于O，交CE于P，则∠BOC=∠AOB（对顶角），故∠CPO=∠BAC=90°→BD⊥CE。例题2（截长补短+角平分线）：在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。解析：方法：在BC上截取BE=BD，连接DE；再在BC上截取BF=BA，连接DF。证△ABD≌△FBD（SAS）：BA=BF，∠ABD=∠FBD，BD=BD→AD=FD，∠BFD=∠A=100°→∠DFC=80°。由AB=AC，∠A=100°得∠ABC=∠C=40°，BD平分∠ABC→∠ABD=∠DBC=20°。BE=BD→∠BED=∠BDE=80°→∠DFE=∠DEF=80°→DF=DE=AD。又∠C=40°，∠EDC=∠BED-∠C=40°→DE=EC→AD=EC。故BC=BE+EC=BD+AD。2.训练建议基础巩固：每天10道判定定理应用题，侧重“条件残缺时的等价转化”（如用等角代换、线段和差补全SAS的角或边）。模型突破：针对“手拉手”“一线三等角”“翻折”模型，各整理5道真题，分析“模型识别标志”与“辅助线触发点”。限时训练：每周进行2次“30分钟3道竞赛题”的模拟，训练快速建模与构造辅助线的能力。错题归类：将错题按“模型类型”（如旋转型、截长补短型）和“错误原因”（如辅助线构造错误、对应角找错）分类，定期复盘。五、总结：全等三角形的“竞赛本质”竞赛中的全等三角形，本质是“对应关系的创造与传递”——通过辅助线构造全等，将分散的条件（线段、角）集中，将未知转化为已知。训练的核心是：1.模型敏感度：一眼识别图形中的“平移、旋转、翻折”痕迹，快速关联经典模型；2.辅助线目的性：每一条辅助线都服务于“补全全等条件”或“转移元素”，而非盲目尝试；3.综合应用能力：将全等与等腰、直角、相似三角