导数的概念及其几何意义(2)课件-高二上学期数学人教A版选择性

5.1.2导数的概率及其意义

从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.思考：观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率

表示什么？

瞬时变化率

表示什么？P0xyOy＝f(x)f(x0+Δx)f(x0)x0x0+Δxf(x0+Δx)-f(x0)ΔxTP割线P0P的斜率切线P0T的斜率1.切线的定义：

在曲线y＝f(x)上任取一点P(x,f(x))，当点P(x,f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0

处的切线.xyOy＝f(x)f(x0)x0TP0P2.导数f′(x0)的几何意义割线P0P的斜率k切线P0T的斜率k0点P→点P0函数y＝f(x)在x=x0处的导数f′(x0)曲线y＝f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率k0导数f′(x0)的几何意义

在点P0附近的曲线可以用点P0处的切线P0T近似代替，这是微积分中重要的思想方法—以直代曲.xyOy＝f(x)f(x0)x0TP0P思考：图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？情景导入：下图是高台跳水运动中运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线分别在t0,t1,t2附近的变化情况.在t0,t1,t2附近的曲线在t=t0,t1,t2处的切线近似代替斜率刻画斜率的正负：增减趋势斜率的大小：增减快慢以直代曲若f′（x0)=0，则函数在x=x0处切线斜率k=0；若f′（x0）>0，则函数在x=x0处切线斜率k>0，函数在x=x0附近单调递增，f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；若f′（x0）<0,则函数在x=x0处切线斜率k〈0,且函数在x=x0附近单调递减，|f′（x0）|越大，说明函数图象变化得越快.3.导函数的概念从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0)

是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derivedfunction)(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′，即这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.

(2)导函数

f′(x)是指某一区间内任意点x而言的,就是函数

f(x)的导数.(3)函数

f(x)在点x0处的导数

f′(x0)

就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,.f′(x0)与f′(x)的联系与区别1.求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程．例题讲解

例1切线方程——在某点处的切线方程

例题讲解

例1切线方程——在某点处的切线方程例题讲解

巩固训练1切线方程——在某点处的切线方程

2.已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.求曲线C在点(1，2)处切线的方程；例题讲解

例2切线方程——过某点处的切线方程例题讲解

例2切线方程——过某点处的切线方程求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参数).(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．

例题讲解

巩固训练2切线方程——过某点处的切线方程例题讲解

例3与导数的几何意义有关的图像问题1.根据图象，描述曲线h(t)在t=t3,t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.t4ht3O••t•l3l4解:(1)当t=t3时,曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(3)>0.这时,曲线在t=t3附近上升,即函数h(t)在t=t1附近单调递增.(3)当t=t4时,曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t2)>0.这时,在t=t2附近曲线上升,即函数h(t)在t=t2附近也单调递增.从图中可以看出,直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度,这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快.例题讲解

例3与导数的几何意义有关的图像问题xy12O•••32.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是().

(A)f'(1)>f'(2)>f'(3)>0

(B)

f'(1)<f'(2)<f'(3)<0

(C)0<f'(1)<f'(2)<f'(3)(D)

f'(1)>f'(2)>0>f'(3)A例题讲解

巩固训练3与导数的几何意义有关的图像问题

1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(

)

A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)例题讲解

例4导函数例题讲解

例4导函数例题讲解

例5求切点坐标或参数值

1.已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1