第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质课件-湘教版（2012）数学九年级下册

第1页：封面标题：1.2第2课时

二次函数\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象与性质副标题：湘教版九年级数学下册配图：\(y=-x^2\)、\(y=-2x^2\)、\(y=-\frac{1}{2}x^2\)抛物线叠加图（标注\(a\)值，与\(a＞0\)时图象对比呈现）落款：授课教师/日期第2页：学习目标知识与技能会用描点法画出\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象，识别其抛物线形态掌握\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象特征（开口、对称轴、顶点等）及函数性质（增减性、最值）能对比\(a＞0\)与\(a＜0\)时二次函数的异同，形成完整认知过程与方法通过“对比旧知→自主画图→分析特征→归纳性质”，提升逻辑推理与数形结合能力经历从具体实例到抽象规律的推导过程，培养数学探究思维情感态度体会函数图象的对称美与规律美，增强数学学习的系统性与连贯性第3页：复习对比——衔接旧知回顾提问（\(a＞0\)时）二次函数\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的图象开口方向、顶点坐标分别是什么？（开口向上，顶点\((0,0)\)）当\(a＞0\)时，函数的增减性如何？（\(x＜0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x＞0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大）提出猜想（\(a＜0\)时）若\(a\)取负数（如\(a=-1\)、\(a=-2\)），\(y=ax^2\)的图象开口方向会改变吗？顶点、增减性又会有怎样的变化？今天我们共同验证。第4页：探究1——用描点法画\(y=-x^2\)的图象操作步骤列表：选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算对应\(y\)值：\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(y=-x^2\)\(-9\)\(-4\)\(-1\)\(0\)\(-1\)\(-4\)\(-9\)描点：在平面直角坐标系中，标记\((-3,-9)\)、\((-2,-4)\)等坐标点（强调与\(y=x^2\)描点位置的对称关系）连线：用平滑曲线依次连接各点，观察图象“开口向下”的特征学生活动：独立画图，对比\(y=x^2\)的图象，记录两者的相同点与不同点第5页：探究2——画\(y=-2x^2\)与\(y=-\frac{1}{2}x^2\)的图象分组任务第一组：列表并绘制\(y=-2x^2\)的图象（\(x\)取值同前）\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(y=-2x^2\)\(-18\)\(-8\)\(-2\)\(0\)\(-2\)\(-8\)\(-18\)第二组：列表并绘制\(y=-\frac{1}{2}x^2\)的图象（\(x\)取值同前）\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(y=-\frac{1}{2}x^2\)\(-4.5\)\(-2\)\(-0.5\)\(0\)\(-0.5\)\(-2\)\(-4.5\)课件展示：动态呈现三个函数图象叠加效果，同时对比\(a＞0\)时的图象，直观展示差异第6页：图象特征分析（\(a＜0\)时）共同特征开口方向：均向下（类比“碗口朝下”）对称轴：都关于\(y\)轴（直线\(x=0\)）对称（与\(a＞0\)时相同）顶点：都经过原点\((0,0)\)，且是图象的最高点（函数值最大处，与\(a＞0\)时“最低点”相反）差异特征（\(a\)值影响）对比\(y=-x^2\)（\(a=-1\)）、\(y=-2x^2\)（\(a=-2\)）、\(y=-\frac{1}{2}x^2\)（\(a=-\frac{1}{2}\)）：\(|a|\)越大，抛物线开口越“窄”（下降越陡峭）；\(|a|\)越小，开口越“宽”（下降越平缓）（与\(a＞0\)时规律一致）课件动画：拖动\(a\)的滑块（\(a＜0\)），展示开口宽窄变化，同时对比\(a＞0\)时的动画效果第7页：函数性质总结（\(y=ax^2\)，\(a＜0\)）性质类别具体内容与\(a＞0\)时对比图象形状抛物线，开口向下开口方向相反对称轴直线\(x=0\)（\(y\)轴）相同顶点坐标\((0,0)\)（最高点）顶点位置相同，“高低”属性相反最值当\(x=0\)时，\(y\)有最大值\(0\)，无最小值最值类型相反（最大值vs最小值）增减性当\(x＜0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x＞0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小增减性完全相反\(a\)的影响$a口诀辅助记忆：负开口下，轴过原点；顶点最高，值为零；左增右减，宽窄看\(|a|\)。第8页：典例精析例题1：利用性质判断大小已知函数\(y=-2x^2\)，比较下列各组中函数值的大小：（1）\(x_1=-3\)，\(x_2=-1\)时，\(y_1\)与\(y_2\)；（2）\(x_1=2\)，\(x_2=3\)时，\(y_1\)与\(y_2\)。解答：（1）∵\(a=-2＜0\)，\(x＜0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，且\(-3＜-1\)，∴\(y_1＜y_2\)；（2）∵\(a=-2＜0\)，\(x＞0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，且\(2＜3\)，∴\(y_1＞y_2\)。例题2：求最值与函数值已知\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象经过点\((2,-8)\)，求：（1）\(a\)的值；（2）函数的最大值；（3）当\(x=-1\)时的函数值。解答：（1）将\((2,-8)\)代入得\(-8=a×2^2\)，解得\(a=-2\)；（2）∵\(a=-2＜0\)，∴当\(x=0\)时，\(y\)有最大值\(0\)；（3）当\(x=-1\)时，\(y=-2×(-1)^2=-2\)。第9页：课堂练习基础题：判断下列关于\(y=-3x^2\)的说法是否正确：（1）图象开口向下；（√）（2）对称轴是\(x=0\)；（√）（3）当\(x=0\)时，\(y\)取得最小值\(0\)；（×）（4）当\(x＜0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。（√）提升题：已知函数\(y=ax^2\)的图象经过点\((-2,-4)\)，判断点\((3,-9)\)是否在该图象上，并说明理由。（答案：\(a=-1\)，将\(x=3\)代入得\(y=-9\)，故点\((3,-9)\)在图象上）第10页：课堂小结知识梳理（对比表格）：对比维度\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）开口方向向上向下顶点属性最低点最高点最值最小值\(0\)最大值\(0\)增减性（\(x＜0\)）减小增大增减性（\(x＞0\)）增大减小核心结论：\(a\)的符号决定抛物线开口方向与最值类型，\(|a|\)决定开口宽窄；研究二次函数性质需结合图象，通过对比加深理解。第11页：作业布置基础作业：教材P15第3、4题（画图+性质应用）提升作业：已知\(y=ax^2\)（\(a≠0\)）的图象经过点\((1,k)\)和\((-2,4k)\)，求\(a\)与\(k\)的关系，并判断当\(a＜0\)时，\(x=3\)对应的函数值与\(k\)的大小关系实践作业：观察生活中开口向下的抛物线物体（如喷泉下落轨迹、伞面轮廓），用坐标大致描述其形状，并分析对应的\(a\)值特征2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师：

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1.2第2课时

二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质第1章

二次函数aiTujmiaNg复习引入列表；描点；连线.你还记得如何画的图象吗？x01234084.520.5xyO

-222464-48我们已经画出了的图象，能不能从它得出二次函数的图象呢？合作探究抛物线

y=ax2(a<0)的图象1.在的图象上任取一点

P(

)，

它关于

x轴的对称点

Q的坐标是(

).2.点

Q的坐标是否在的图象上？

yxOPQ3.

由此推测 的图象与 的图象是否关于

x轴对称？在

是关于

x轴对称.

4.你怎样得到的图象？因此只要把 的图象沿着x轴翻折将图象“复制”出来，就得到

的图象.yxOPQ例1

函数

y=﹣a（x+a）与

y=﹣ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（）典例精析A．B．C．D．

解析：函数

y=﹣a(x+a)=﹣ax﹣a2的常数项﹣a2一定小于零，函数

y=﹣a(x+a)与

y轴一定相交于负轴．故选D．B.由一次函数的图象可知

a＜0，由二次函数的图象可知

a＞0，两者相矛盾；C.由一次函数的图象可知

a＞0，由二次函数的图象可知

a＜0，两者相矛盾；A．B．C．D．

说说二次函数的图象有哪些性质，与同伴交流.oxy1.是一条曲线；2.图象开口向下；3.图象关于

y轴对称；4.与对称轴的交点为(

0，0)；5.“左升”，“右降”；6.x=0时，函数值最大，且为0.议一议抛物线

y=ax2(a＜

0)的性质解：（1）根据题意得

m－3

≠

0

且

m2－2m－6

=

2，解得

m1

=

－2，m2

=

4．所以满足条件的

m

的值为－2

或

4；（2）∵当

m－3

＞

0

时，图象有最低点，∴

m

=

4，此时二次函数的解析式为

y

=

x2，∴当

x

＞

0

时，y

随

x

的增大而增大.例2已知函数

是关于

x

的二次函数．（1）求满足条件的

m

的值；（2）当

m

为何值时，它的图象有最低点？此时当

x

为

何值时，y

随

x

的增大而增大？（3）∵当

m－3

＜

0

时，图象有最高点，∴

m

=

－2，此时二次函数的解析式为

y

=

－5x2，∴当

x

＞

0

时，y

随

x

的增大而减小．（3）当

m

为何值时，它的图象有最高点？此时当x

为何值时，y

随

x

的增大而减小？问题1画二次函数 的图象.x012340－1－4列表合作探究描点和连线：画出图象在

y轴右边的部分，再利用对称性画出

y轴左边的部分.这样我们得到了 的图象，如图.y－2－424－2－4xo问题2观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线xOy－2－424－2－4以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出铅球在空中经过的路线是形式为的图象的一段.xOy-2－-424-2-4这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.受此启发，把二次函数

y=ax2的图象这样的曲线叫做抛物线.归纳总结xyO－22－2－4－64－4－8相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴，增减性相同.不同点：a越小，即|a|越大，抛物线的开口越小．问题3在同一坐标系中，画出函数

y=-x2,y=-2x2,

的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．对于二次函数

y=

ax2,|a|

越大，抛物线的开口越小.系数

a

对图象的影响1.下列函数中，当

x

＞

0

时，y

值随

x

值增大而减小的是（）A.y=B.y=x-

1C.D.y=-3x2D2.抛物线

y＝

－4x2不具有的性质是(

)A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随

x的增大而增大D．最高点是原点A

3.函数

y=-3x2的图象的开口

，对称轴

，顶点是

；在对称轴的左侧，

y随x的增大而

，在对称轴的右侧，

y随x的增大而

.向下y轴(0,0)减小增大yOx4.当

ab>0时，抛物线

y＝

ax2与直线

y＝

ax＋

b在同一直角坐标系中的图象大致是(

)解析：根据

a、b的符号来确定．当

a>0时，抛物线

y＝

ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.

∴直线

y＝

ax＋b过第一、二、三象限；当a<0时，抛物线

y＝

ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线

y＝

ax＋b过第二、三、四象限．

故选D.D5.如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝

bx2；③y＝

cx2；④y＝

dx2，则

a、b、c、d的大小关系为(

)A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c解析：∵抛物线

y＝

ax2中，|a|越大，抛物线的开口越小.

∴a>b>0，|d|>|c|>0，∴d<c<0，∴a>b>0>c>d．A返回A1.小湘用软件绘制抛物线y＝－0.3x2时，将“－0.3”按成了“0.3”，和原图象相比，发生改变的是(

)A．开口方向

B．开口大小C．对称轴

D．顶点坐标返回C返回A4.当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象可能是(

)D返回5.

已知(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝(a＋1)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时，有y1>y2，试写出不等式ax＜a的一个解x＝______________.返回2(答案不唯一)6．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是________．8返回【点拨】∵函数y＝2x2与y＝－2x2的图象关于x轴对称，∴阴影部分的面积是正方形面积的一半．∵正方形的边长为4，∴正方形的面积为16.∴阴影部分的面积是8.7．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且函数图象开口向下．(1)求k的值，并画出它的图象；(2)该图象的顶点坐标是________，若点(a，－9)在其图象上，则a的值是________；(0，0)±3(3)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，若－2≤m≤1，求n的取值范围．【解】∵点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，且－2≤m≤1，∴当m＝－2时，n＝－(－2)2＝－4；当m＝1时，n＝－12＝－1；当m＝0时，n取最大值，为0.∴当－2≤m≤1时，－4≤n≤0.返回8.定义新运算：a⊗b＝

例如：4⊗5＝4×52，4⊗(－5)＝－4×(－5)2，则函数y＝2⊗x的图象大致为(

)D返回返回【答案】B10．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，则以下结论中，正确的有(

)①抛物线y＝ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点；②当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当－2<x<3时，ax2－kx>b.A．①②B．①②⑤

C．②③④D．①②④⑤【点拨】①抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点坐标为(0，0)，故①说法正确；②由题图可知，k<0，a<0，二次函