17.1.1 等腰三角形的性质 分层练习

17.1第1课时等腰三角形与等边三角形及其性质等腰三角形及“等边对等角”的性质1.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高线，若∠A=40°，则∠BCD的度数为 ()A.18° B.20° C.25° D.30°2.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是 ()A.70° B.45° C.35° D.50°3.如图，已知D，E是等腰三角形ABC底边BC上两点，且BD=CE.求证：∠ADE=∠AED.等腰三角形“三线合一”的性质4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC，这种操作方法的依据是()A.等边对等角 B.等角对等边C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为中线，∠B=70°，则∠1= ()A.20° B.35° C.40° D.70°6.(教材变式)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是∠BAC的平分线，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O，求∠AOB的度数.等边三角形及其性质7.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为 ()A.30° B.45° C.60° D.75°8.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2= ()A.60° B.90° C.120° D.180°1.(易错题)已知等腰三角形的两边长a，b满足|a-2|+b2-10b+25=0，那么这个等腰三角形的周长为()A.8 B.12C.9或12 D.92.如图，在△ABD中，∠D=20°，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC.若AB=AC，则∠BAD的度数是 ()A.100° B.110°C.120° D.150°3.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于 ()A.10° B.15° C.20° D.25°4.(新考法)某平板电脑支架的示意图如图所示，其中AB=CD，EA=ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小.若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是 ()A.增大16° B.减小16°C.增大8° D.减小8°5.如图，AD是等边三角形ABC的高，AE=AD，则∠EDC=.

6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠ACB=72°.(1)若BD⊥AC于点D，求∠ABD的度数.(2)若CE平分∠ACB，求证：∠A=∠ACE.7.(推理能力)已知△ABC为等边三角形，M是BC上的一点，N是CA上的一点，且BM=CN，直线AM，BN相交于Q点.(1)若点M是BC的中点，N是AC的中点，如图1所示，求∠BQM的度数.(2)若点M不是BC的中点，N不是AC的中点，如图2所示，请你探究∠BQM的度数是否变化，为什么?(3)若M是BC延长线上的点，N是CA延长线上的点，如图3所示，请你探究∠BQM的度数是否变化，为什么?

【详解答案】基础达标1.B2.C3.证明：在等腰三角形ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ADB=∠AEC，∴∠ADE=∠AED.4.D5.A6.解：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∠BAC=80°，∴AD⊥BC，∠ACB=∠ABC=12×(180°-∠BAC∴∠ADB=90°.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠CBO=12∠ABC∴∠AOB=∠CBO+∠ADB=25°+90°=115°.7.C8.C能力提升1.B解析：∵|a-2|+b2-10b+25=0，∴|a-2|+(b-5)2=0.又∵|a-2|≥0，(b-5)2≥0，∴a-2=0，b-5=0.∴a=2，b=5.如果a为腰长，b为底边长，三角形的三边长分别为2，2，5，此时2+2<5，不能构成三角形，舍去；如果a为底边长，b为腰长，三角形的三边长分别为2，5，5，此时能构成三角形，周长为2+5+5=12.故选B.2.C解析：∵CE垂直平分AD，∴AC=CD.∴∠CAD=∠D=20°.∴∠ACB=∠CAD+∠D=40°.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=40°.∴∠BAD=180°-∠B-∠D=120°.故选C.3.C解析：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线.∵E为AD上一点，∴EB=EC.∴∠EBD=∠ECD.∵∠CED=50°，∴∠ECD=∠EBD=180°-90°-50°=40°.又∵∠ABC=60°，∴∠ABE=60°-40°=20°.故选C.4.D解析：∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠AEC=∠EAD+∠ADE=2∠ADE，∵∠AEC增大16°，∴∠ADE增大8°，∵∠BDE=180°-∠ADE，∴∠BDE减小8°.故选D.5.15°解析：∵AD是等边三角形ABC的高，∴∠ADC=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=12(180°-∠CAD)=75°∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.6.解：(1)∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠ACB=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°.∵BD⊥AC于点D，∴∠DBC=180°-90°-72°=18°.∴∠ABD=72°-18°=54°.(2)证明：由(1)，知∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB=36°.∴∠A=∠ACE.7.解：(1)∵△ABC为等边三角形，且M是BC的中点，∴AM⊥BC，即∠QMB=90°.∵△ABC为等边三角形，且N是AC的中点，∴BN平分∠ABC，得∠QBM=30°.∴∠BQM=180°-∠QMB-∠QBM=180°-90°-30°=60°.(2)不变.理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠C=∠ABC=60°.又∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠