成本实操-直角坐标质心坐标计算公式

会计实操文库1/1成本实操-直角坐标质心坐标计算公式直角坐标系下的质心（CenterofMass）坐标计算，核心是根据物体的质量分布（离散分布或连续分布），通过加权平均的方式求解。质心坐标

(xˉ,yˉ​,zˉ)

分别对应三个坐标轴方向的平均位置，权重为各部分的质量。一、核心原理质心的本质是物体质量的“平均位置”，其坐标计算公式遵循“总力矩等于各部分力矩之和”的原则（力矩=质量×到坐标轴的距离）。对于任意维度，质心坐标的通用形式为：

某轴的质心坐标=（各部分质量×该部分在该轴的坐标）之和/总质量二、具体计算公式根据质量分布的两种基本形式（离散点、连续体），公式分为两类。以下以最常见的二维（x-y平面）

和三维（x-y-z空间）

为例说明。1.离散质量分布（多个质点组成的系统）适用于：由若干个质量明确、位置固定的“质点”组成的物体（如多个小球用轻杆连接、机器的零部件系统等）。设系统由

n

个质点组成，第

i

个质点的质量为

mi​，坐标为

(xi​,yi​,zi​)，总质量

M=∑i=1n​mi​。维度质心坐标计算公式符号说明二维（x-y平面）xˉ=M∑i=1n​mi​xi​​

yˉ​=M∑i=1n​mi​yi​​xˉ：x轴质心坐标

yˉ​：y轴质心坐标

M=m1​+m2​+...+mn​三维（x-y-z空间）xˉ=M∑i=1n​mi​xi​​

yˉ​=M∑i=1n​mi​yi​​

zˉ=M∑i=1n​mi​zi​​zˉ：z轴质心坐标示例：

三个质点分布在x-y平面：m1​=2kg（坐标(1,2)）、m2​=3kg（坐标(3,4)）、m3​=5kg（坐标(5,6)）。

总质量

M=2+3+5=10kgxˉ=102×1+3×3+5×5​=102+9+25​=3.6yˉ​=102×2+3×4+5×6​=104+12+30​=4.6

质心坐标为

(3.6,4.6)。2.连续质量分布（均质/非均质物体）适用于：质量连续分布的固体（如细杆、薄板、实心几何体等）。需通过积分计算“无限多个微小质量元的加权平均”。核心思路：将物体分割为无数个微小质量元

dm，每个质量元的坐标为

(x,y,z)，总质量

M=∫dm。（1）通用公式（非均质物体，密度ρ为位置函数）密度

ρ(x,y,z)

是“单位体积的质量”（三维）、“单位面积的质量”（二维，称为面密度，用σ表示）或“单位长度的质量”（一维，称为线密度，用λ表示），其值随位置变化。维度密度符号质量元

dm质心坐标计算公式一维（细杆，沿x轴）线密度

λ(x)dm=λ(x)dxxˉ=M∫x⋅λ(x)dx​

M=∫λ(x)dx二维（薄板，x-y平面）面密度

σ(x,y)dm=σ(x,y)dxdyxˉ=M∫∫x⋅σ(x,y)dxdy​

yˉ​=M∫∫y⋅σ(x,y)dxdy​

M=∫∫σ(x,y)dxdy三维（几何体）体密度

ρ(x,y,z)dm=ρ(x,y,z)dxdydzxˉ=M∭x⋅ρ(x,y,z)dxdydz​

yˉ​=M∭y⋅ρ(x,y,z)dxdydz​

zˉ=M∭z⋅ρ(x,y,z)dxdydz​

M=∭ρ(x,y,z)dxdydz（2）简化：均质物体（密度ρ为常数）若物体质量均匀分布（如均匀细杆、均匀薄板、均匀球体），密度ρ可从积分中提出并与总质量

M=ρV（V为体积/面积/长度）约分，公式简化为“几何中心（形心）坐标”（质心与形心重合）。以常见的二维均质薄板（x-y平面，面积S）为例：xˉ=S1​∫∫xdxdy，yˉ​=S1​∫∫ydxdy典型均质物体的质心（形心）坐标示例：物体类型简化条件质心坐标

(xˉ,yˉ​)均匀细杆（长L，沿x轴，两端x=0和x=L）一维xˉ=2L​，yˉ​=0均匀矩形薄板（长a，宽b，顶点(0,0)、(a,0)、(a,b)、(0,b)）二维xˉ=2a​，yˉ​=2b​均匀直角三角形薄板（直角边a、b，顶点(0,0)、(a,0)、(0,b)）二维xˉ=3a​，yˉ​=3b​三、关键补充坐标系选择：质心坐标与坐标系的选择有关，但质心的物理位置是物体固有的。合理选择坐标系（如利用对称性，将原点设在对称轴上）可大幅简化计算。对称性应用：若物体关于某轴对称，则质心一定在该轴上（对应轴的坐标为0或对称轴位置）。例如：均匀球体的质心在球心，均匀圆环的