【数学】山西省晋中市部分学校2025-2026学年高一上学期10月检测试题(解析版)

山西省晋中市部分学校2025-2026学年高一上学期10月检测数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.已知命题：，，那么是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】已知命题：，，则为：，.故选：B.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对A，若，，则，故A错误；对B，若，则，但，故B错误；对C，若，则，但，故C错误；对D，若，则，故，即，故D正确.故选：D.5.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】即为即，故，故解集为.故选：C.6.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程—时间”的图像.一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项CD，最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合.故选：B.7.若不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，原不等式，当时，不等式的解集为，要使得不等式的解集是的子集，则满足，即；当时，不等式的解集为，此时满足不等式的解集是的子集；当时，不等式的解集为，要使得不等式的解集是的子集，则满足，即.综上可得，实数的取值范围是.故选：B.8.的定义域为，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，联立消去，得，而，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题自要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.集合A的真子集个数为【答案】AC【解析】由已知全集，集合，，对于A，，即A正确；对于B，，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，集合的真子集有：，，，，，，共个，所以D错误．故选：AC．10.下列命题是真命题的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】对于A，B，当时，，故A正确，B错误；对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误；对于D：因为，所以，所以，，故D正确.故选：AD.11.不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】对于A，由不等式的解集是，可得，且，1是方程的两个根，由根与系数的关系可得：，解得，，所以，，故A错误；对于B，由，即，而，则，即，所以不等式的解集是，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由，则，而，则，解得，即不等式的解集是，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则______.【答案】0【解析】已知函数，则，所以．故答案为：.13.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】若命题“，”是真命题，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____.【答案】4【解析】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}，集合{参加游泳队的学生}，则，，，，，，，设三项都参加的有人，即，由，则，解得，即三项都参加的有4人.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，集求：（1）（2）（3）.解：（1）∵集合，，∴.（2）.（3）．16.已知集合，集合或，全集.（1）若，求，；（2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，而或，则，.（2）若命题“，都有”是真命题，则，所以或，即或，故的范围为或.17.已知函数（1）求函数的解析式；（2）求关于x的不等式解集.（其中）解：（1）由题意，函数，令，所以，则，所以.（2）由（1）知，即不等式转化为，则，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为平方米，其中.（1）试用表示，并标明的取值范围；（2）求的最大值，并求出取最大值时的值.解：（1）由题意可得且，所以，，所以由图.（2）由（1），所以，当且仅当即时等号成立，所以的最大值为，此时.19.设是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”．（1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；（2）若集合是“等差集”，求的值；（3）已知正整数，