5年高考数学真题分类汇编专题06导数及其应用(解答题)(原卷版)

专题06导数及其应用（解答题）考点01导数的几何意义1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．3．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．5．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．考点02利用导数研究函数的极值6．（2025·上海·高考真题）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．8．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.考点03利用导数研究不等式恒成立问题11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值；（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．16．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．17．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．考点04利用导数证明不等式18．（2025·天津·高考真题）已知函数(1)时，求在点处的切线方程；(2)有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．19．（2024·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意成立，求实数的值；(3)若，求证：．20．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．22．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)若曲线和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．23．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．25．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．26．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．27．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.考点05利用导数研究函数的零点28．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.29．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数·证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．30．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．31．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．32．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．33．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．34．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)35．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．考点06导数与数列的综合36．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．37．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数，证明；(2)若正整数，试比较与大小；(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．考点07导数与概率的综合38．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．考点08导数新定义39．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，