湖南省名校联考联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学(b卷)(解析版)

湖南省名校联考联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（B卷）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由集合，则.故选：B.2.命题“”的否定是：（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定，命题“”的否定是：.故选：D.3.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若函数在上单调递增，则满足，解得，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：C.4.已知函数则使得的的值为（）A.0或1或-1 B.1 C.0 D.-1【答案】B【解析】当时，，解得，不符合题意；当时，，解得或-1（负值舍去），综上，a的值为1.故选：B.5.若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，不等式对一切都成立，则，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以，即，则实数的取值范围为.故选：C.6.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由图象可以看出，该函数关于轴对称，是偶函数.而B选项和D选项中的函数解析式不满足，所以B选项和D选项中的函数不是偶函数，应排除；因为图象中函数经过点，将其代入选项C中的解析式中，发现，不满足，应排除.故选：A.7.定义：表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式，即，解得，因为表示不超过的最大整数，所以，即，所以不等式的解集为.故选：D.8.已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，用代换，可得，可得，联立方程组，解得，又因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，可得，设，设，其中，由函数的图象开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，所以，所以，所以实数的取值范围.故选：B.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.当时，B.当时，的定义域为C.当时，为增函数D.当时，为偶函数【答案】CD【解析】对于A：，则，故A错误；对于B：的定义域为，故B错误；对于C：为增函数，故C正确；对于D：的定义域为，，所以的定义域为，令，则，所以为偶函数，故D正确；故选：CD.10.已知是奇函数，定义域为，当时，．则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.当时，单调递减D.【答案】ABD【解析】对于A，由函数，可得，因为函数为奇函数，所以，所以A正确；对于B，设，则，因为是奇函数，且当时，，可得，所以B正确；对于C，任取且，，因为且，可得，可得，即，所以函数在上单调递增，因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，所以C不正确；对于D，当时，，由，可得，所以，可得，当时，，由，可得，所以，可得，所以函数的值域为，所以D正确.故选：ABD.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数为奇函数B.设，则在上单调递减，在上单调递增C.若方程在定义域内恰有两个不同的根，则实数的取值范围为D.若在区间上的最大值比最小值大1，则实数的取值不唯一【答案】ACD【解析】对于：的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故正确；对于：，函数在上单调递减，在上单调递增，的单调性应和函数的单调性相同，故错误；对于C：，即，即，当有一个根为0时，此时，与题干矛盾，不合题意，舍去，则，解得，故C正确；对于D：函数在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递增，所以，解得，当，即时，在上单调递减，所以，解得（舍），当时，，当时，，解得或（舍去），则，经验证，符合题意，当时，，解得或，则（舍去）或（舍去）.综上，的值为4或，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域是______．【答案】【解析】由题意，，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：.13.已知函数，若是奇函数，则______．【答案】【解析】由，则，因为是奇函数，所以，则，解得.故答案为：.14.若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为______．【答案】【解析】由题意，对任意的两个不相等的正数，都有，不妨设，则，所以，则，即，设，，则，所以函数在上单调递减，又为奇函数，所以，则，所以为偶函数，图象关于轴对称，则函数在上单调递增，而，由，则，当时，，则；当时，，则，即.综上所述，的解集为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）用定义法证明函数在上单调递增．解：（1）由函数，可得其定义域为，关于原点对称，又由，即，所以函数是定义域上的偶函数.（2）由函数，任取，且，则，因为，且，可得，所以，即，所以函数在上单调递增.16.已知集合．（1）当时，求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．解：（1）当时，集合.而集合.所以.（2）因为，所以.因为，所以.当时，，此时解得；当时，，解得.所以实数的取值范围为.17.2025年被称为“智能体元年”，基于大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的．（1）求常数和的值；（2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；（3）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？解：（1）因为，则有.因为在处函数图象是连续不断的，所以，解得.（2）当时，令，则，化简得，因为，所以此时不等式无解集；当时，令，则，化简得，解得.所以满足条件的训练时长范围为.（3）当时，，此时.因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为4；当时，，此时.综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.18.已知二次函数满足的解集为，且．（1）求的解析式；（2）若，求的最大值；（3）当时，求函数的最大值（用表示）．解：（1）设二次函数，则变为，即.因为该不等式的解集为，所以根据韦达定理有，化简得.又，所以，所以解得.所以的解析式为.（2）.因为，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最大值为.（3）因为，对称轴为，当时，即时，在上单调递增，此时函数的最大值为；当时，在上单调递减，此时函数的最大值为；当时，即时，此时函数的最大值为；综上所述，函数的最大值为.19.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”．（1）如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求，，；（2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；（3）已知函数是图象