（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题07 外接球、内切球、棱切球（原卷版）

专题07经典三类球：外接球、内切球、棱切球【考点预测】考点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4考点二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．考点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出考点五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．考点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：．考点七：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2考点八：锥体内切球方法：等体积法，即考点九：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】例1．在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例2．在正三棱锥S﹣ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（

）A．1 B．2 C． D．例3．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形为两个全等的等腰梯形，则该刍甍的外接球的体积为（

）A． B． C． D．例4．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（

）A． B． C． D．例5．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（

）A． B． C． D．例6．一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（

）A． B． C． D．例7．正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（

）A． B．C． D．例8．已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（

）A．球的外切正方体的棱长为 B．球的表面积为C．球的内接正方体的棱长为 D．球的半径为例9．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（

）A． B． C． D．例10．正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（

）A． B． C． D．例11．已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．【过关测试】一、单选题1．若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（

）A． B． C． D．4．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．5．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（

）A． B． C． D．6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．7．如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．8．如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．9．边长为的正四面体内切球的体积为（

）A． B． C． D．10．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（

）A．9 B．18 C．27 D．3611．如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（

）A． B．C． D．12．已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上，球的体积是，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题13．如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，则下列说法正确的是（

）A．OF//平面BCE B．BF⊥平面ADFC．三棱锥C-BEF外接球的体积为 D．三棱锥C-BEF外接球的表面积为5π14．我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（

）A．正方体的棱切球的半径为B．正四面体的棱切球的表面积为C．等长正六棱柱的棱切球的体积为D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为15．已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是（

）A．该正方体外接球的直径为B．该正方体内切球的表面积为C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为D．该正方体外接球的体积为三、填空题16．已知球是四棱锥的外接球，四边形是边长为1的正方形，点在球面上运动且，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积是___________.17．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于_______18．已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．19．如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.20．已知A、B、C是球面上三点，且，，若球心O到平面ABC的距离为，则该球表面积为______.21．已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为_________．22．边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____．23．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．24．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截