北京大学研究生入学考试数学试卷

北京大学研究生入学考试数学试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：北京大学研究生入学考试数学试卷考核对象：报考北京大学数学专业研究生考生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.级数∑_{n=1}^∞(1/n)发散。3.若矩阵A可逆，则其伴随矩阵A也可逆。4.奇数次项系数和为1的多项式f(x)在复数域上至少有一个根。5.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。6.若函数f(x)在[a,b]上可积，则其积分值与区间划分方式无关。7.矩阵A的秩等于其行向量组的秩。8.若A为n阶实对称矩阵，则其特征值均为实数。9.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增，则其反函数存在且连续。10.若向量组α1,α2,α3的秩为3，则α1,α2,α3线性无关。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x|在x=0处（）。A.可导B.左右导数存在但不相等C.不连续D.连续但不可导2.级数∑_{n=1}^∞(1/2^n)的收敛性为（）。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断3.矩阵A=[12;34]的逆矩阵为（）。A.[1-2;-34]B.[-42;3-1]C.[4-2;-31]D.[12;-34]4.函数f(x)=e^x在x→∞时的渐近线为（）。A.y=0B.y=xC.y=1D.不存在5.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则α·β=（）。A.32B.18C.21D.366.矩阵A=[10;01]的特征值为（）。A.1,-1B.0,2C.1,1D.2,27.若函数f(x)在[a,b]上可积，则其积分中值定理中的ξ属于（）。A.(a,b)B.[a,b]C.[a,b)D.(a,b]8.级数∑_{n=1}^∞sin(nπ/2)的收敛性为（）。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断9.若向量组α1,α2,α3的秩为2，则其线性相关性为（）。A.线性相关B.线性无关C.可能相关可能无关D.无法判断10.函数f(x)=ln(x)在x=1处的导数为（）。A.1B.-1C.0D.1/2三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中在x=0处可导的有（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=sin(x)D.f(x)=ln(1+x)2.级数∑_{n=1}^∞(1/n^2)的收敛性为（）。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断3.矩阵A=[10;01]的特征向量有（）。A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.(-1,0)4.下列向量组中线性无关的有（）。A.α1=(1,0),α2=(0,1)B.α1=(1,1),α2=(2,2)C.α1=(1,0),α2=(1,1)D.α1=(1,1),α2=(1,-1)5.函数f(x)=x^3在x=0处的泰勒展开式为（）。A.xB.3x^2C.x^3D.06.矩阵A的秩为3，则其（）。A.可逆B.有3个线性无关的列向量C.行向量组线性无关D.秩小于其阶数7.下列级数中绝对收敛的有（）。A.∑_{n=1}^∞(1/2^n)B.∑_{n=1}^∞(-1)^n/nC.∑_{n=1}^∞(1/n)D.∑_{n=1}^∞(1/n^2)8.函数f(x)=e^x在x=0处的麦克劳林展开式的前三项为（）。A.1+xB.1+x+x^2/2C.1D.1+x^29.若向量组α1,α2,α3线性无关，则（）。A.α1,α2线性无关B.α2,α3线性无关C.α1,α3线性无关D.α1,α2,α3的秩为310.矩阵A的特征值为其（）。A.对角线元素之和B.行列式C.特征多项式的根D.逆矩阵的特征值的倒数四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=1,f(1)=2。证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ。2.设向量组α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6)。求该向量组的秩，并判断其线性相关性。3.已知矩阵A=[12;34]，求其特征值和特征向量。五、论述题（每题11分，共22分）1.证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，则其在该区间上必存在最大值和最小值。2.讨论函数f(x)=x^2在R上的凹凸性，并说明其几何意义。---标准答案及解析一、判断题1.√（拉格朗日中值定理）2.×（发散）3.√（A=(detA)A^(-1)）4.√（代数基本定理）5.√（线性无关性保持）6.√（可积函数积分与划分无关）7.√（秩等于行向量组秩）8.√（实对称矩阵特征值为实数）9.√（单调连续函数存在反函数且连续）10.√（秩为3即线性无关）二、单选题1.D（连续但不可导）2.C（绝对收敛）3.B（逆矩阵公式计算）4.D（不存在）5.A（向量点积计算）6.C（特征值1,1）7.B（积分中值定理ξ∈[a,b]）8.A（发散）9.A（秩为2即线性相关）10.A（导数为1）三、多选题1.A,C,D（x^2,sin(x),ln(1+x)在x=0处可导）2.A（绝对收敛）3.A,B（特征值1,1，特征向量(1,0),(0,1)）4.A,C,D（A,B线性相关，C,D线性无关）5.A,C（泰勒展开前三项为0,x,3x^2）6.B,C（秩为3即有3个线性无关列向量，行向量组线性无关）7.A,D（A,D绝对收敛）8.A,B（前三项为1,x,x^2/2）9.A,B,C（α1,α2,α3线性无关即各部分线性无关）10.C,D（特征值为特征多项式根，逆矩阵特征值为原特征值的倒数）四、案例分析1.证明：构造函数g(x)=f(x)-x，则g(0)=1>0,g(1)=1<0。由连续性知存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=ξ。2.秩与相关性：向量组秩为2（α1,α2线性无关，α3可由α1,α2线性表出），线性相关。3.特征值与向量：特