北京师范大学研究生数学研考试卷

北京师范大学研究生数学研考试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：北京师范大学研究生数学研考试卷考核对象：报考北京师范大学数学专业的硕士研究生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在该区间上必有界。2.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)|a_n|也收敛。3.矩阵A可逆的充分必要条件是det(A)≠0。4.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也线性无关。5.偏导数存在并不能保证函数可微。6.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界。7.线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。8.若函数f(x)在点x_0处取得极值，且f(x)在x_0处可导，则f'(x_0)=0。9.矩阵的特征值之和等于其迹（主对角线元素之和）。10.若函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y)在D上必有最大值和最小值。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在x→0时极限存在的是（）。A.√xsin(1/x)B.xln|x|C.sin(1/x)D.1/x^22.若函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值是（）。A.-8B.2C.3D.83.级数∑(n=1to∞)(1/n^p)收敛当且仅当p>（）。A.0B.1C.2D.34.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎥⎦的转置矩阵是（）。A.⎡⎢⎣123⎤⎥⎦B.⎡⎢⎣132⎤⎥⎦C.⎡⎢⎣123⎤⎥⎦^TD.⎡⎢⎣321⎤⎥⎦5.若向量组α_1=(1,0,0),α_2=(0,1,0),α_3=(0,0,1)，则该向量组的秩为（）。A.1B.2C.3D.46.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处的梯度为（）。A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(0,1)7.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增，则f(x)在[a,b]上的积分值为（）。A.f(b)-f(a)B.f(a)-f(b)C.0D.无法确定8.矩阵A=⎡⎢⎣100⎤⎥⎦的逆矩阵是（）。A.⎡⎢⎣100⎤⎥⎦B.⎡⎢⎣010⎤⎥⎦C.⎡⎢⎣001⎤⎥⎦D.⎡⎢⎣100⎤⎥⎦^(-1)9.若函数f(x,y)在点(x_0,y_0)处取得极值，且f(x,y)在(x_0,y_0)处可微，则f'(x_0,y_0)=（）。A.0B.1C.-1D.无法确定10.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的积分值与分割方式（）。A.有关B.无关C.部分有关D.无法确定三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在x→0时极限为1的是（）。A.(1+x)^1/xB.e^xC.sin(x)/xD.1-x^22.若函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的极值点是（）。A.-2B.-1C.0D.13.级数∑(n=1to∞)(1/(n+1)ln(n+1))的敛散性为（）。A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛4.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎥⎦的秩为（）。A.1B.2C.3D.45.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。A.α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1B.α_1-α_2,α_2-α_3,α_3-α_1C.α_1,α_2,α_3D.α_1,2α_2,3α_36.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的梯度为（）。A.(2,2)B.(1,1)C.(-2,-2)D.(0,0)7.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的积分值与（）。A.积分区间有关B.积分变量有关C.分割方式无关D.取点方式无关8.矩阵A=⎡⎢⎣100⎤⎥⎦的特征值为（）。A.1B.0C.-1D.29.若函数f(x,y)在点(x_0,y_0)处取得极值，且f(x,y)在(x_0,y_0)处可微，则f'(x_0,y_0)满足（）。A.∂f/∂x(x_0,y_0)=0B.∂f/∂y(x_0,y_0)=0C.∂²f/∂x²(x_0,y_0)=0D.∂²f/∂y²(x_0,y_0)=010.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有（）。A.最大值B.最小值C.极值D.积分值四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。2.已知矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎥⎦，求矩阵A的逆矩阵（若存在）。3.已知向量组α_1=(1,1,1),α_2=(1,2,3),α_3=(1,3,6)，判断该向量组的线性相关性。五、论述题（每题11分，共22分）1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界。2.证明：若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也线性无关。---标准答案及解析一、判断题1.√（连续函数必有界）2.×（绝对收敛是条件收敛的充分不必要条件）3.√（矩阵可逆的充要条件是det(A)≠0）4.√（线性无关向量组的线性组合仍线性无关）5.√（偏导数存在不一定可微，如|x|在x=0处）6.√（可积函数必有界）7.√（线性方程组有解的充要条件是增广矩阵与系数矩阵秩相等）8.√（极值点处导数为0）9.√（矩阵特征值之和等于其迹）10.×（连续函数在闭区间必有最值，但开区间不一定）二、单选题1.A（√xsin(1/x)在x→0时极限为0）2.D（f(-2)=8，f(2)=8，f(0)=1，最大值为8）3.B（p>1时级数收敛）4.C（矩阵转置为⎡⎢⎣123⎤⎥⎦^T）5.C（向量组线性无关，秩为3）6.C（梯度为(2x,2y)，在(0,0)处为(0,0)）7.A（单调递增函数积分值为f(b)-f(a)）8.A（单位矩阵逆矩阵仍为单位矩阵）9.A（极值点处偏导数为0）10.B（积分值与分割方式无关）三、多选题1.ABC（(1+x)^1/x→e，e^x→e，sin(x)/x→1，1-x^2→1）2.BCD（f'(-1)=0，f'(0)=0，f'(1)=0）3.B（级数发散，调和级数发散）4.A（矩阵为行向量，秩为1）5.AC（线性无关向量组的线性组合仍线性无关）6.A（梯度为(2x,2y)，在(1,1)处为(2,2)）7.AC（积分值与积分区间和取点方式有关）8.AB（特征值为1和0）9.AB（极值点处偏导数为0）10.AB（连续函数在闭区间必有最值）四、案例分析1.解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-5，f(-1)=2，f(0)=1，f(1)=-1，f(2)=3，最大值为3，最小值为-5。2.解：矩阵A为行向量，秩为1，不可逆。3.解：向量组线性相关，因α_3=α_1+α_2。五、论述题1.证明：反证法，假设f(x)在[a,b]上无界，则存在x_n→±∞，f(x_n)→±∞，由连续性，