北京大学考研数学试卷

北京大学考研数学试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________北京大学考研数学试卷考核对象：报考北京大学数学专业的硕士研究生考生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界。2.级数∑_{n=1}^∞(a_n+b_n)收敛，则级数∑_{n=1}^∞a_n和∑_{n=1}^∞b_n均收敛。3.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A也可逆。4.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。5.若函数f(x)在x₀处可导，则f(x)在x₀处必连续。6.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界。7.若矩阵A的特征值全为正，则矩阵A必正定。8.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则向量组α₁,α₂,α₃中任一向量均可由其余向量线性表示。9.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增，则f(x)的反函数存在且连续。10.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的特征值相同。二、单选题（每题2分，共20分）1.设函数f(x)在x₀处可导，且f'(x₀)=2，则当x→x₀时，f(x)的微分df(x)与Δx的比值为（）。A.1B.2C.x₀D.x₀²2.下列级数中收敛的是（）。A.∑_{n=1}^∞(1/n)B.∑_{n=1}^∞(1/n²)C.∑_{n=1}^∞(1/n³)D.∑_{n=1}^∞(n²)3.设矩阵A为3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|为（）。A.2B.4C.8D.164.下列向量组中线性无关的是（）。A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)5.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的积分存在，且积分值为（）。A.必为正数B.必为负数C.必为零D.可正可负6.设函数f(x)在x₀处可导，且f'(x₀)=0，则f(x)在x₀处（）。A.必取极值B.必不取极值C.可能取极值D.必单调7.下列矩阵中正定的是（）。A.\(\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\)8.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁的秩为（）。A.1B.2C.3D.49.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的积分与积分区间[a,b]的顺序（）。A.有关B.无关C.只在[a,b]为有限区间时无关D.只在[a,b]为无限区间时无关10.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的行列式|A|和|B|的关系为（）。A.|A|=|B|B.|A|≠|B|C.|A|>|B|D.|A|<|B|三、多选题（每题2分，共20分）1.下列命题中正确的是（）。A.若函数f(x)在x₀处可导，则f(x)在x₀处必连续B.若函数f(x)在x₀处连续，则f(x)在x₀处必可导C.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界D.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界2.下列级数中条件收敛的是（）。A.∑_{n=1}^∞(1/2^n)B.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n)C.∑_{n=1}^∞(1/n²)D.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n²)3.下列矩阵中可逆的是（）。A.\(\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)4.下列向量组中线性相关的是（）。A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)5.下列命题中正确的是（）。A.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关B.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则向量组α₁,α₂,α₃中任一向量均可由其余向量线性表示C.若矩阵A的特征值全为正，则矩阵A必正定D.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的特征值相同6.下列函数中在x=0处可导的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x²C.f(x)=x³D.f(x)=x²sin(1/x)（x≠0,f(0)=0）7.下列矩阵中正定的是（）。A.\(\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\)8.下列命题中正确的是（）。A.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的积分存在B.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界C.若函数f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上必连续D.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)的反函数存在且连续9.下列向量组中线性无关的是（）。A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)10.下列命题中正确的是（）。A.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的行列式|A|和|B|相等B.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的特征值相同C.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的秩相同D.若矩阵A和矩阵B相似，则矩阵A和矩阵B的迹相同四、案例分析（每题6分，共18分）1.设函数f(x)在[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，证明：∫_{a}^{b}√f(x)dx≤(b-a)√∫_{a}^{b}f(x)dx。2.设矩阵A为3阶矩阵，且满足A³-A=0，证明：矩阵A的秩为1或3。3.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,6)，求向量组α₁,α₂,α₃的秩，并判断其是否线性无关。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述函数f(x)在[a,b]上连续与可积的关系，并举例说明。2.论述矩阵A的特征值与特征向量的定义及其性质，并说明特征值在矩阵理论中的重要性。---标准答案及解析一、判断题1.√2.×（反例：a_n=b_n=(-1)^n/n）3.√（|A|=|A|^(n-1)）4.√（线性无关向量组的线性组合仍线性无关）5.√（可导必连续）6.√（可积函数必有界）7.√（正定矩阵特征值全为正）8.√（线性相关向量组中至少一向量可由其余表示）9.√（单调连续函数必有反函数且反函数连续）10.√（相似矩阵特征值相同）二、单选题1.B2.B3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.B10.A三、多选题1.A,C,D2.B,D3.B,C,D4.B,C5.A,B,C,D6.B,C,D7.B8.A,B,C,D9.A10.A,B,C,D四、案例分析1.证明：令g(x)=√f(x)，则g(x)在[a,b]上连续，由柯西不等式：∫_{a}^{b}g(x)dx≤(b-a)√∫_{a}^{b}g(x)²dx即∫_{a}^{b}√f(x)dx≤(b-a)√∫_{a}^{b}f(x)dx。2.证明：由A³-A=0，得A(A²-I)=0，即A(A-I)(A+I)=0，则矩阵A的特征值为0,1,-1。若A有特征值0,1,-1，则A不可逆，秩<3；若A有特征值1,1,0，则A可逆，秩=3；若A有特征值-1,-1,0，则A可逆，秩=3；若A有特征值1,1,1，则A=I，秩=3；若A有特征值-1,-1,-1，则A=-I，秩=3；若A有特征值0,0,1，则A不可逆，秩=1；若A有特征值0,0,-1，则A不可逆，秩=1。故秩为1或3。3.解：构造矩阵B=[α₁,α₂,α₃]，对B进行行变换：\(\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}→\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{bmatrix}→\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}\)秩为3，向量组线性无关。五、论述题1.论述：函数f(x)在[a,b]上连续是可积的充分条件，但不是必要