福建省漳州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

福建省漳州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的一个法向量（

）A． B． C． D．2．211是等差数列4，7，10，13，…的第（

）项A．69 B．70 C．71 D．723．已知方程表示椭圆，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．某博物馆需要从3名男生和5名女生中选取4名志愿者，则志愿者中至少有2名男生的不同选法的种数（

）A．35 B．40 C．60 D．705．已知数列满足且，则的值为（

）A．32 B．16 C． D．6．据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（

）A．12 B．18 C．24 D．367．已知双曲线C：左、右焦点分别为，，过点作渐近线的垂线，垂足为A，交右支于点B，若，则C的离心率是（

）A． B．2 C． D．8．已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（

）A． B．2 C． D．二、多选题9．已知直线：与：，则（

）A．当时， B．当时，与重合C．当时， D．当时，与间的距离为10．已知数列满足，则（

）A． B．C．的前n项和为 D．的前10项和为21611．已知椭圆在圆内，为坐标原点，过圆上的动点P向椭圆作两条切线分别交圆于M，N两点，直线交椭圆于A，B两点，当时（

）A．圆的方程为 B．面积最大值为18C．的最小值为4 D．若动点D在椭圆上，则三、填空题12．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则两圆的公共弦所在的直线方程为.13．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为.14．已知数列满足，且对任意，都存在，使得，则（写出所有可能的取值）；若数列中满足：存在使得，则称具有性质P.若数列前30项中恰有3项具有性质P，且这3项的积为27，则前30项和为.四、解答题15．已知.(1)若，求；(2)若的展开式中的系数为6，求展开式中系数的最小值.16．已知圆心M在直线上，和是圆上的两点.(1)求圆M的标准方程；(2)一条光线从点发出，经x轴反射后与圆M相切，求反射光线所在直线的方程.17．已知为等差数列的前n项和，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18．已知双曲线E：的离心率为，焦距为(1)求E的方程；(2)过作两条斜率存在且互相垂直的直线，.若交E于A，B两点，交E于C，D两点，M，N分别为与的中点，分别记和的面积为，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）当时，求直线的斜率的取值范围.19．已知抛物线：，点在上，为常数且，按照如下方法依次构造点，过抛物线上点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求的坐标；(2)求证：数列是等差数列；(3)求的面积.（结果用表示）

参考答案1．C【详解】因为直线的斜率，所以直线方向向量为，可以得，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选：C2．B【详解】根据题意，得出等差数列的通项公式：，令，解得.故选：B3．B【详解】椭圆的标准方程为，依题意，解得，故选：B.4．A【详解】由题意可知：男生人数为2或3，若有2名男生，则不同选法的种数为；若有3名男生，则不同选法的种数为；所以不同选法的种数.故选：A.5．D【详解】根据题意，数列满足，，则，即数列是公比为的等比数列，又由，则，则.故选：D.6．D【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有，再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，所以共有种排法.故选：D7．A【详解】设渐近线，，则，，所以，是的中点，，所以,所以，又因为，所以，即，解得，则；

故选：A.8．C【详解】因为点和，动点P满足，设点，所以，整理得，所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，因为直线恒过点，当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值，所以最大值为,故选：C9．BC【详解】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误.对于B，当时，直线，直线.因为且，所以与重合，B选项正确.对于C，当时，直线，直线.根据两直线垂直的判定条件，成立，所以与垂直，C选项正确.对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得.当时两直线重合，当时，即，.根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误.故选：BC.10．AB【详解】当时，.当时，因为①，那么②.由①-②得：，整理得.当时，也满足，所以.所以B选项正确.当时，，所以A选项正确.因为，根据等差数列求和公式，其中，，则，所以选项错误.当时，.当时，令，解得.当时，，.当时，，..前项和...

后项和....根据等差数列前项和公式，则.

所以，所以选项D错误.故选：AB.11．ACD【详解】设，若过的切线垂直于轴，则由对称性不妨记，则，此时，若过的切线不垂直于轴，则设切线方程为，由可得，故，故，整理得到：，因为两条切线垂直，故，故，故，故圆的方程为，故A正确；因为，故，当且仅当等号成立，故面积最大值为，故B错误；因为，故过原点，故，当且仅当为短轴时，取最小值，故C正确；设，，因为过原点，故，则，故D正确；故选：ACD.12．【详解】圆：与圆：相交于A，B两点，则两圆的公共弦所在的直线方程让两圆的方程直接相减得.故答案为：.13．/【详解】抛物线焦点为，显然直线的斜率存在，设直线，，联立，消去整理得，由，所以，，由，即，即，，所以，所以，，由，所以，所以，解得（负值已舍去），所以直线的倾斜角为.故答案为：14．3，5，7，9738【详解】当时，；当时，，或，即；当时，，或，或，即；当时，，或，或，或；综上所述：的所有可能取值为：；因为中恰有3项具有性质，且这3项的积为27，且，可得，即具有性质，可知从第5项开始是以3为首项，2为公差的等差数列，所以.故答案为：；738.15．(1)(2)5【详解】（1）已知.所以，所以.当时，，即.（2）因为的展开式中的系数为6，所以，所以，即，展开式中系数，对称轴为.又因为，所以当时，系数的最小值为5.当时，系数的最小值为6.综上所得，系数的最小值为5.16．(1)(2)或.【详解】（1）设圆的标准方程为，依题意，，解得，所以圆的标准方程为.（2）点关于轴的对称点为，由光的反射性质知反射光线所在直线过点，当直线垂直于轴时，即：，此时直线与圆不相切，不符合题意；当直线不垂直于轴时，设的方程为，即，由与圆相切，得，解得或，所以直线的方程为或.17．(1)(2)【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由（1）得，即所以.18．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）因为离心率为，即，因为焦距为，所以，，所以，所以E的方程为；（2）设直线：，，，：，，，由，得（*），所以，且，.（i），，所以，同理，因为，，所以直线的斜率为定值0.（ii）因为，所以.同理，，因为，所以，即，所以，所以或，又因为（*）式中可得且，所以直线斜率的取值范围为.