北京大学研究生考试数学试卷

北京大学研究生考试数学试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________北京大学研究生考试数学试卷考核对象：报考北京大学数学专业硕士研究生考生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.级数∑_{n=1}^∞(1/n^p)收敛当且仅当p>1。3.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。4.奇函数的傅里叶级数只含正弦项。5.若A为n阶可逆矩阵，则det(A)=0。6.二次型f(x₁,x₂,...,xn)正定的充分必要条件是其对应矩阵的顺序主子式均大于0。7.若事件A与B互斥，则P(A|B)=0。8.标准正态分布的密度函数是偶函数。9.若函数f(x)在x₀处可导，则f(x)在x₀处必连续。10.线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x|在x=0处（）。A.可导B.左右导数存在但不相等C.不连续D.连续但不可导2.级数∑_{n=1}^∞((-1)^n/n^2)的收敛性是（）。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断3.矩阵A=[12;34]的特征值是（）。A.1,2B.3,4C.-1,-2D.-1,54.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则下列说法正确的是（）。A.α₁,α₂,α₃中任意两个向量线性无关B.α₁可以由α₂,α₃线性表示C.α₂不可以由α₁,α₃线性表示D.α₃一定为零向量5.函数f(x)=e^(-x^2)在[-1,1]上的最小值是（）。A.0B.e^-1C.1D.e^-26.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A|B)是（）。A.0.4B.0.5C.0.6D.0.87.矩阵A=[10;01]的逆矩阵是（）。A.[10;01]B.[-10;0-1]C.[01;10]D.[10;0-1]8.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增，则f(x)在(a,b)内的原函数是（）。A.∫[a,x]f(t)dtB.∫[b,x]f(t)dtC.f(x)D.f'(x)9.线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。A.A可逆B.A不可逆C.b=0D.b≠010.若随机变量X服从N(μ,σ^2)，则P(X>μ)是（）。A.0.5B.0.7C.0.3D.1三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中在x=0处可导的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)2.级数∑_{n=1}^∞(1/(n+1)ln(n))的收敛性是（）。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断3.矩阵A=[10;02]的特征向量可以是（）。A.[10]^TB.[01]^TC.[11]^TD.[1-1]^T4.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则下列说法正确的是（）。A.α₁可以由α₂,α₃线性表示B.α₂不可以由α₁,α₃线性表示C.α₃一定不为零向量D.α₁,α₂,α₃的秩为35.函数f(x)=ln(x)在[1,2]上的积分值是（）。A.ln(2)B.ln(1)C.ln(2)-ln(1)D.16.若事件A与B独立，则下列说法正确的是（）。A.P(A∩B)=P(A)P(B)B.P(A|B)=P(A)C.P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(A|B)=07.矩阵A=[11;11]的秩是（）。A.0B.1C.2D.38.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递减，则f(x)在(a,b)内的原函数是（）。A.∫[a,x]f(t)dtB.∫[b,x]f(t)dtC.-∫[a,x]f(t)dtD.-∫[b,x]f(t)dt9.线性方程组Ax=b无解的条件是（）。A.A可逆B.A不可逆且b不在A的列空间内C.b=0D.b≠010.若随机变量X服从N(0,1)，则P(X^2>1)是（）。A.0.3B.0.5C.0.7D.1四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值。2.设向量组α₁=[111]^T,α₂=[123]^T,α₃=[135]^T，判断α₁,α₂,α₃是否线性无关，并说明理由。3.已知矩阵A=[12;34]，求A的特征值和特征向量。五、论述题（每题11分，共22分）1.证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。2.解释线性方程组Ax=b有解的几何意义，并说明为何增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩是充要条件。---标准答案及解析一、判断题1.√（拉格朗日中值定理）2.√（p-级数判别法）3.√（线性无关组的线性组合仍无关）4.√（奇函数的傅里叶系数bₙ≠0，aₙ=0）5.×（det(A)≠0）6.√（惯性定理）7.√（互斥则A∩B=∅，P(A|B)=P(∅)=0）8.√（标准正态分布密度函数f(x)=f(-x)）9.√（可导必连续）10.√（有解的秩判别法）二、单选题1.D（绝对值函数在0处不可导）2.C（绝对收敛）3.D（det(A)=-2，特征值λ=-1,5）4.B（线性相关则至少一个向量可由其余表示）5.B（e^-1≈0.3679最小）6.A（P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.4）7.A（单位矩阵的逆仍为单位矩阵）8.A（原函数定义）9.A（A可逆则Ax=b有唯一解）10.A（对称分布，P(X>μ)=0.5）三、多选题1.A,C,D（x^2,x^3,sin(x)在0处可导）2.A（发散，调和级数变形）3.A,C（特征值1,2对应特征向量[10]^T,[11]^T）4.B,C,D（线性无关组的秩为3，α₂不可由α₁,α₃表示）5.A,C（ln(2)-ln(1)=ln(2)）6.A,B（独立定义）7.B（秩为1，非零行[11]）8.A,C（单调递减原函数为负积分）9.B（秩不等且b不在列空间）10.A,C（P(X^2>1)=P(|X|>1)=2Φ(-1)=2(1-0.8)=0.4）四、案例分析1.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2。f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值2，最小值-2。2.解：矩阵=[α₁α₂α₃]，行简化为[111;012;001]，秩为3，线性无关。3.解：det(λI-A)=λ^2-5λ-2=0，λ=-0.4,5.4。λ=-0.4时，[A+0.4I][x]=0→[-0.62;3.2-3.6][x