浙江省杭州地区六校2026届数学高二上期末联考试题含解析

浙江省杭州地区六校2026届数学高二上期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）A. B.0C. D.22．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．若变量x，y满足约束条件，则目标函数最大值为（）A.1 B.-5C.-2 D.-74．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. B.C. D.6．在等差数列中，，，则数列的公差为（）A.1 B.2C.3 D.47．直线经过两点，那么其斜率为（）A. B.C. D.8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.9．抛物线的焦点到准线的距离是A. B.1C. D.10．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．已知，，则（）A. B.C. D.12．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________14．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______15．甲乙参加摸球游戏，袋子中装有3个黑球和1个白球，球的大小、形状、质量等均一样，若从袋中有放回地取1个球，再取1个球，若取出的两个球同色，则甲胜，若取出的两个球不同色则乙胜，求乙获胜的概率为_____16．数据：1，1，3，4，6的方差是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值19．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由20．（12分）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆，直线.（1）若直线与椭圆相切，求实数的值；（2）若直线与椭圆相交于A、两点，为线段的中点，为坐标原点，且，求实数的值.22．（10分）已知圆的圆心为，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与圆相交于、两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；【详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即故选：A2、C【解析】∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”，“方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”，∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C.3、A【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】解：由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线，由图象可知当直线，过点时取得最大值，由，解得，所以代入目标函数，得，故选：A4、A【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为故选：A5、C【解析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.【详解】运行程序，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，满足，利用裂项求和可得：.故选：C.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证6、B【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得.【详解】在等差数列中，设公差为d，由，，得，解得.故选：B7、B【解析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点，则故选：B8、A【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.【详解】由已知的函数逆向变换，第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.故.故选：A9、D【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.10、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.11、C【解析】利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.12、C【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为，所以，即，故14、15【解析】易得抛物线方程为，根据，求得点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义求解.【详解】解：因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以，则抛物线：，设点的坐标为，的坐标为，因为，所以，则，则，所以直线的方程为，代入抛物线方程可得，故，则，所以故答案为：1515、##0.375【解析】先算出有放回地取两次的取法数，再算出取出两球不同色的取法数，根据古典概型的概率公式计算即可求得答案.【详解】有放回地取两球，共有种取法，两次取球不同色的取法有种，故乙获胜的概率为，故答案为：16、##3.6【解析】先计算平均数，再计算方差.【详解】该组数据的平均数为，方差为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标【小问1详解】设动圆的圆心，依题意：化简得：，即为动圆的圆心的轨迹的方程【小问2详解】假设存在点，满足条件，使①，显然直线斜率不为0，所以由直线过点，可设，由得设，，，，则，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在点使得18、（1）；（2）证明见解析，定值为-1.【解析】(1)根据给定条件探求出，再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0，写出直线的方程，再联立轨迹C的方程，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径为8，因A是圆上一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，所以P点的轨迹C的方程是.【小问2详解】因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，直线的方程为：，即，由消去y并整理得：，，即，则有且，设，则，直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，，所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.19、（1）；（2）存在，最大距离为.，理由见解析【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.【小问1详解】由题设知：且，又，∴，故椭圆C的方程为.小问2详解】联立直线与椭圆，可得：，∴，即直线与椭圆相离，∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，∴，可得，当，切线为，其与直线距离为；当，切线为，其与直线距离为；综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.20、（1）（2）【解析】（1）由，，成等比数列和，可得，解方程求出，从而可求出的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求出【小问1详解】因为等差数列的公差为2，所以又因为成等比数列，所以，解得，所以.【小问2详解】由（1）得，所以.21、（1）（2）m值为或.【解析】（1）利用判别式直接求解；（2）用“设而不求法”表示出，即可