辽宁省丹东市凤城市通远堡高级中学2026届数学高二上期末统考模拟试题含解析

辽宁省丹东市凤城市通远堡高级中学2026届数学高二上期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．长方体中，，，，为侧面内（含边界）的动点，且满足，则四棱锥体积的最小值为（）A. B.C. D.2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.3．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（）A. B.C. D.4．设等比数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.5．由下面的条件一定能得出为锐角三角形的是（）A. B.C. D.6．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.7．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（）A.108 B.36C.50 D.869．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()A. B.C. D.10．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（）A.1 B.2C. D.11．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）A.B.C.D.12．两条平行直线与之间的距离为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______14．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围__________15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若在点处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求证：；（3）若函数有两个零点，求的取值范围18．（12分）已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长19．（12分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求20．（12分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积21．（12分）已知向量，.（1）计算和；（2）求.22．（10分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，分析可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，可知当点为椭圆与棱或的交点时，点到平面的距离取最小值，由此可求得四棱锥体积的最小值.【详解】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设点，其中，，则、，因为平面，平面，则，所以，，同理可得，所以，，所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆的一部分，则，，，所以，点的轨迹方程为，点到平面的距离为，当点为曲线与棱或棱的交点时，点到平面的距离取最小值，将代入方程得，因此，四棱锥体积的最小值为.故选：D.2、A【解析】求出函数图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为，所以，，所以，函数图象的对称中心为，将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向下平移个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数为奇函数.故选：A3、D【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D4、C【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，所以.故选：C5、D【解析】对于A，两边平方得，由得，即为钝角；对于B，由正弦定理求出，进而求出，可得结果；对于C，根据平方关系将余弦化为正弦，用正弦定理可将角转化为边，进而可得的值，从而作出判断；对于D，由可得，推出，，，故可知三个内角均为锐角【详解】解：对于A，由，两边平方整理得，，因为，所以，所以，所以，所以为钝角三角形，故A不正确；对于B，由，得，所以，因为，所以，所以或，所以或，所以为直角三角形或钝角三角形，故B不正确；对于C，因为，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以，故三角形为钝角三角形，C不正确；对于D，由可得，因为中最多只有一个钝角，所以，，中最多只有一个为负数，所以，，，所以中三个内角都为锐角，所以为锐角三角形，故D正确；故选：D6、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率故选：D.7、D【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.8、C【解析】运用分类计数原理，结合组合数定义进行求解即可.【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，所以分发烤火炉的方法总数为：，故选：C【点睛】关键点睛：运用分类计数原理是解题的关键.9、A【解析】根据双曲线渐近线方程得a和b的关系，根据焦点在抛物线准线上得c的值，结合a、b、c关系即可求解.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程是，∴，∵准线方程是，∴，∵，∴，，∴双曲线标准方程为：.故选：A.10、B【解析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.【详解】双曲线的实半轴长，所以该双曲线的实轴长为2.故选：B11、D【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D12、D【解析】由已知有，所以直线可化为，利用两平行直线距离公式有，选D.点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题．在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】取的中点，连接，，过点A作，垂足为，设，利用三角形的边角关系求出，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可【详解】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点，所以为二面角的平面角，设，则，，所以，所以，EH=，因为三棱锥的体积为，所以，解得：，，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足，则三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，14、【解析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果.详解】将代入双曲线方程整理可得：设直线与双曲线右支交于两点，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.15、【解析】应用余弦定理有，再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求，根据基本不等式求得，注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.【详解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，当且仅当时等号成立，又，当且仅当时等号成立.故答案为：16、##4.5【解析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，即，故，当且仅当时取等，所以，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由可求得实数的值；（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.【小问1详解】解：因为的定义域为，.由题意可得，解得.【小问2详解】证明：当时，，该函数的定义域为，，令，其中，则，故函数在上递减，因为，，所以，存在，使得，则，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，，所以，当时，.【小问3详解】解：函数的定义域为，.令，其中，则，所以，函数单调递减，因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且，即，所以，，令，其中，则，故函数在上单调递增，又因为，由，可得，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18、（1）见解析；（2）2＋4.【解析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|=2.设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2)所以|OA|＝|OB|＝.所以△OAB的周长为2＋4.【点睛】本题考查了抛物线简单性质的应用，解题关键利用好三角形重心的性质，属于中档题.19、（1）（2）9【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.【小问1详解】设各项均为正数的等比数列首项为，公比为则有，解之得则等比数列的通项公式.【小问2详解】由，可得20、（1）证明见解析；（2）.【解析】【小问1详解】因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，所以,又,所以平面【小问2详解】因为△ABC和△PBC为正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面积为，所以.21、（1），；（2）.【解析】（1）利用空间向量的坐标运算可求得的坐标，利用向量的模长公式可求得的值；（2）计算出，结合的取值范围可求得结果.【详解】（1），；（2），，因此，.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.2