上海市静安区丰华中学2026届数学高二上期末质量检测试题含解析

上海市静安区丰华中学2026届数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.2．已知命题:，命题:则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要3．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知抛物线，则它的焦点坐标为（）A. B.C. D.5．已知等比数列的前项和为，公比为，则（）A. B.C. D.6．设等比数列，有下列四个命题：①{a②是等比数列；③是等比数列；④lgan其中正确命题的个数是（）A.1 B.2C.3 D.47．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．若是真命题，是假命题，则A.是真命题 B.是假命题C.是真命题 D.是真命题9．已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.3 B.5C.6 D.1010．执行如图所示的程序框图，则输出的A. B.C. D.11．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A.13 B.14C.15 D.1612．圆截直线所得弦的最短长度为（）A.2 B.C. D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，向量，，，且，，则___________.14．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.15．若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____16．圆被直线所截得弦的最短长度为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，，，，（1）证明：是直角三角形；（2）求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值18．（12分）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由19．（12分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线的距离为，求实数k的取值范围21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：.22．（10分）已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，∴，且，∴，将代入到双曲线方程，可得，解得，即，则，即，即，解得（舍负），故.故选:D.2、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件故选：B3、C【解析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意有，，则，解得：故选：C.4、D【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距，可得结果.【详解】由得，所以，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故选：D.【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.5、D【解析】利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.故选：D.6、C【解析】根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.【详解】是等比数列可得（为定值）①为常数，故①正确②，故②正确③为常数，故③正确④不一定为常数，故④错误故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.7、B【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由得或，由得，因为或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B8、D【解析】因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.考点：真值表的应用.9、B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为数列为等差数列，由，可得，，则.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.10、B【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.【详解】，，，；，【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.11、C【解析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了天，然后建立关于的方程，求出即可【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了天，则，解得或（舍去），所以，故选：12、A【解析】由题知直线过定点，且在圆内，进而求解最值即可.【详解】解：将直线化为，所以联立方程得所以直线过定点将化为标准方程得，即圆心为，半径为，由于，所以点在圆内，所以点与圆圆心间的距离为，所以圆截直线所得弦的最短长度为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由空间向量坐标运算法则求出，由此能求出【详解】解：设，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案为：14、【解析】连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接∵四面体中，，分别在，上，且，∴∴∴.故答案为：15、a＝3【解析】对函数进行求导,分类讨论函数单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，又f（x）只有一个零点,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案为：a＝3【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.16、【解析】首先确定直线所过定点；由圆的方程可确定圆心和半径，进而求得圆心到的距离，由此可知所求最短长度为.【详解】由得：，直线恒过点；，在圆内；又圆的圆心为，半径，圆心到点的距离，所截得弦的最短长度为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接BD，在四边形ABCD中求得，在中，取得，得到，由线面垂直的性质证得平面，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面PBD，进而得到，即可证得是直角三角形（2）以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行直线为y轴，所在直线为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接BD，因为四边形中，可得，，，所以，，则在中，由余弦定理可得，所以，所以因为平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，，所以平面PBD因为平面PBD，所以，即是直角三角形【小问2详解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中点O，连接PO，因为，所以，因为平面，平面底面，平面底面，所以底面,以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，可得，，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，，所以，因为是平面的一个法向量，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为18、（1）；（2）存在，.【解析】(1)与焦点相同可求出c，将代入方程结合a、b、c关系即可求a和b；(2)直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立AB方程与椭圆方程，得到根与系数的关系；由得，结合韦达定理得k与m的关系；再由圆与直线相切，即可求其半径；最后再验证AB斜率不存在时的情况即可.【小问1详解】，由题可知，解得点，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设，设，代入，整理得，由得，即，由韦达定理化简得，即，设存在圆与直线相切，则，解得，所以圆的方程为，又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，由题意可得，又，，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，，由得：，验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为联立椭圆方程，得：，整理得：，得：，将代入得，所以的面积.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考查了数学运算能力.20、（1）或；（2）.【解析】（1）设圆心为，由题意及圆的弦长公式即可列方程组，解方程组即可；（2）由题意可将问题转化为圆心到直线l：的距离，解不等式即可.【详解】解：（1）设圆心为，半径为r，根据题意得，解得，所以圆C的方程为或（2）由（1）知圆C的圆心为或，半径为，由圆C上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，可知圆心到直线l：的距离即，所以，解得所以直线l斜率的取值范围为21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据数列通项与前项和的关系，构造新等式，作差整理得到，进而求解结论；（2）求出数列{an}的通项公式，再代入裂项求和即可.【小问1详解】证明：因为，所以当时，，两式相减，得到，整理得，又因为an＞0，所以，所以数列{an}是等差数列，公差为3；【小问2详解】证明：当n＝1时，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因为a1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.22、(1)详见解析(2)m为－时，截得的弦长最小，最小值为2【解析】（1）将直线l变形，可知直线l过