2026届安徽省高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届“皖南八校”高三第二次大联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟，2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，向量与复数，数列，立体几何.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，（为虚数单位，），且是纯虚数，则的值为（

）A． B． C．2 D．2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知函数，下列函数中为偶函数的是（

）A． B． C． D．4．在等比数列中，，则（

）A． B． C． D．5．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（

）A． B． C． D．6．已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7．如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（

）A． B． C． D．8．设函数，其中，若对任意恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知正实数满足等式，则下列结论可能成立的是（

）A． B．C． D．10．在正四棱锥中，已知，分别为，的中点，点为上一动点，满足，则下列说法正确的有（

）A．平面B．当时，平面平面C．不存在，使得平面D．当时，，，，四点共面11．已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（

）A． B．C． D．的周长为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为．13．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是.14．已知等差数列的公差为，若集合，则．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．已知函数.(1)求函数的对称轴方程；(2)若，，求的值．16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且.(1)求；(2)若点在线段上，且满足，求的面积.17．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长.18．已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有.(1)求和；(2)若数列满足，且，求数列的通项公式；(3)记数列的前项和为，证明：.19．已知函数，，其中函数的导函数为.(1)当时，求函数在上的单调性；(2)证明：当时，在上存在极大值点，且；(3)证明：，使得恒成立.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】利用复数的除法运算以及复数的概念可得结果．【详解】，因为为纯虚数，所以且，所以.故选：C2．D【分析】解对数不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，进而利用补集运算和交集运算的概念求解即可.【详解】，，则或，.故选：D.3．C【分析】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.【详解】因为，故的定义域为.选项A：，，，所以不是偶函数，故A错误；选项B：，，，所以不是偶函数，故B错误；选项C：，，，所以为偶函数，故C正确；选项D：，，，所以不是偶函数，故D错误.故选：C.4．A【分析】由等比数列基本量的运算可得，故，即数列也为等比数列，再根据等比数列求和公式求解即可．【详解】因为，，所以，所以，，故，则数列是首项为2，公比为的等比数列，所以．故选：A．5．D【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程.【详解】因为为奇函数，当时，，当时，可得，则，可得，，所以曲线在处的切线方程是，即.故选：D.6．A【分析】根据零点，代入可得，再利用辅助角公式化简得，再根据平移变换求解即可．【详解】依题意，得，得，所以，，了得到的图象，需要将函数的图象,需要将函数的图象向左平移个单位长度．故选：A．7．C【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的最大值及其对应的值，可得出，再利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则、，设，则，，故，.所以，当时，取得最大值，此时点，即点与点重合，且，此时.故选：C.8．B【分析】先求得的零点为，，，的零点为，，，然后根据零点相同列式求解即可.【详解】令，因为的零点为，，，可知的零点为，，，的零点为，，，又因为，则，若，即，则，可知的零点与的零点相同，则，解得，.故选：B.9．CD【分析】先设，再根据幂函数的单调性求解判断.【详解】由题意，设，则，.设幂函数.当时，函数在上单调递增，且，所以，即；当时，；当时，函数在上单调递减，且，所以即.故选：CD10．ABD【分析】利用线面垂直的判定定理证明判断A；利用面面平行的判定定理证明判断B；利用线面垂直的判定定理证明判断C；利用空间向量线性运算得，可得，，共线，即可判断D.【详解】对于A，如图，连接，交于点，连接，因为在正四棱锥中，底面为正方形，所以，又因为，为中点，所以，又因为，，平面，所以平面，A正确；对于B，连接，，，因为，所以，，又，平面，，平面，，，所以平面平面，B正确；对于C，因为，为中点，所以，因为四边形为正方形，所以，又因为，，平面，所以平面，则平面，所以当，即点与重合时，平面，C错误；对于D，设与的交点为，当时，，，，则，所以，，共线，所以，，，四点共面，D正确.故选：ABD.11．BCD【分析】由两角和与差的三角函数公式、正余弦定理逐项分析计算即可.【详解】选项A：由，得，两式相加得，整理得，即，解得或，因为锐角中，，所以，，故A错误；选项B：由选项A得，，则，所以，即，整理得，即，因为，所以，所以，则，故B项正确；选项C：由锐角的面积为，得，得，设的外接圆半径为，则，又，，则，解得，所以，，，所以，故C项正确；选项D：由选项C得，的周长为，故D正确.故选：BCD.12．【分析】根据在方向上的投影向量的模为，再由向量夹角公式计算即可．【详解】因为，，则在方向上的投影向量的模为．故答案为：13．【分析】应用补形得出正三棱柱，再应用柱体及锥体体积公式计算求解.【详解】如图所示，构造一个底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，其中，，，，因此，即，根据三棱柱体积公式，，故该几何体的体积是.故答案为：.14．##【分析】根据题意得到的周期为，即最多3个不同取值，再结合，分析得到一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，，解得，则集合中的两个不同元素为，，再化简计算即可．【详解】，则，其周期为，而，即最多3个不同取值，由题可知集合有且仅有两个元素，，则在，，中，或，或，又，即，一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，，于是有，即有，解得，不相等的两项为，，故．故答案为：．15．(1)(2)【分析】（1）根据降幂公式及辅助角公式化简，再整体代入法求对称轴方程即可；（2）由，得到，结合角的范围求得，再利用正弦倍角公式求解即可．【详解】（1），令，解得，故函数的对称轴为直线.（2）因为，即，且，则，可得，则，则，所以．16．(1)(2)【分析】（1）先应用正弦定理，再由三角恒等变形得，结合角的范围即可求解；（2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值.【详解】（1）根据题意，则由正弦定理得，，因为，所以，所以，，则，解得；（2）令，，则.又，则四边形为菱形，为的角平分线.，，，即，由余弦定理可得：，即，解得，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解.【详解】（1）由，得，而平面平面，平面平面平面，则平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，平面，则，而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，又，，，，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，因此，所以平面与平面夹角的正弦值为.（3）设，依题意，，即，，，即，则，由平面，得是平面的一个法向量，于是，即，解得，，因此，所以.18．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）数列为等差数列，不妨设，再利用待定系数法解得，根据等差数列前项和公式求．（2）方法一：由题意得，再根据累乘法得到，方法二：构造数列，得到数列为常数列即可求解；（3）由题意得，先证，再累加即可证得．【详解】（1）因为数列为等差数列，不妨设，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，当且时，，，当时，满足，综上所述：.方法二：由（1）得：，，，，，令，则数列为常数列，，；（3）由（1）知，，下面证明，设，，则，当时，，单调递增，所以，所以，即，所以，所以．19．(1)单调递减(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数研究其单调性即可.（2）先求出导函数，然后求出单调区间，进而利用极大值点的概念证明即可.（3）将问题转化为证明对任意恒成立，参变分离得对任意恒成立，令，即证，，多次求导求得的单调区间，即可求解的最小值，令，，利用导数求得最小值，即可证明.【详解】（1）当时，，，令，则，当时，，，所以，所以在上单调递减.（2），，其中满足，，，令，得，当时，，所以函数在区间上单调递增；当