2025 九年级数学上册二次函数图像翻折变换课件

一、教学背景分析：为何要学？学什么？演讲人01.02.03.04.05.目录教学背景分析：为何要学？学什么？教学目标设定：学后能做什么？教学过程设计：如何突破重难点？├─关于x轴课后延伸：从课堂到生活的应用2025九年级数学上册二次函数图像翻折变换课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，函数图像的变换是连接代数与几何的重要桥梁，而二次函数图像的翻折变换更是其中最能体现数学对称之美的内容。今天，我将以“二次函数图像翻折变换”为主题，结合新课标要求、九年级学生的认知特点，从教学背景、目标设定、过程设计、总结提升四个维度展开本节课的教学阐述。01教学背景分析：为何要学？学什么？1课标与教材定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“函数”主题中明确要求：“通过具体实例，了解函数图像的平移、翻折和旋转，能利用图像的变换研究函数的性质”。二次函数作为初中阶段最复杂的初等函数，其图像变换是“图形的变化”与“函数”两大主题的交汇点。人教版九年级数学上册第二十一章“二次函数”中，教材在“用函数观点看一元二次方程”“实际问题与二次函数”之后安排“图像变换”，既是对“二次函数图像与性质”的深化（从静态观察到动态变换），也是为高中“函数图像变换”“三角函数图像变换”奠定基础。本节课聚焦“翻折变换”，是平移变换后的重要延伸，更是培养学生“几何直观”“数学抽象”核心素养的关键载体。2学情与认知基础授课对象为九年级学生，已掌握：①二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）；②二次函数图像（抛物线）的开口方向、顶点坐标、对称轴等基本性质；③点关于x轴、y轴、直线x=a对称的坐标变换规律。但存在两大认知难点：一是难以将“点的对称变换”迁移到“函数图像的整体变换”；二是对“不同翻折轴（x轴、y轴、任意直线）下解析式的推导”缺乏系统方法。因此，本节课需以“点的坐标变换”为抓手，通过“具体→抽象→应用”的路径突破难点。02教学目标设定：学后能做什么？教学目标设定：学后能做什么？基于上述分析，我将本节课目标设定为“三维一体”：1知识与技能01能准确描述二次函数图像关于x轴、y轴、直线x=h翻折后的图像特征（开口方向、顶点坐标、对称轴）；02掌握通过“点的坐标变换”推导翻折后函数解析式的方法，能独立完成“原函数→翻折函数”的解析式转换；03能解决含翻折变换的综合问题（如与平移结合、实际情境中的抛物线翻折）。2过程与方法在“观察实例→猜想规律→验证推导→应用拓展”的探究过程中，体会“从特殊到一般”“数形结合”的数学思想；通过小组合作推导不同翻折轴下的解析式，提升逻辑推理能力和数学表达能力。3情感态度与价值观通过解决“翻折后抛物线是否经过某点”等问题，增强用数学方法解决实际问题的信心。教学重点：二次函数图像关于x轴、y轴翻折的规律及解析式推导。教学难点：关于任意直线（如顶点所在直线x=h）翻折的解析式推导，及翻折与平移的综合应用。在探究翻折变换的对称美中，感受数学与生活的联系（如桥梁、喷泉的对称设计）；03教学过程设计：如何突破重难点？1情境导入：从生活对称到数学翻折（5分钟）“同学们，上周参观市科技馆时，大家是否注意到大厅的‘镜像雕塑’？当雕塑与水中倒影形成对称时，水面就像一面镜子，将原雕塑翻折成了‘镜像’。数学中，我们也可以用类似的‘翻折’操作变换二次函数的图像。”展示三幅图片：①赵州桥桥拱与其水中倒影（关于水面翻折）；②喷泉的抛物线轨迹与其“镜像”（关于竖直中线翻折）；③二次函数y=x²的图像与其关于x轴的翻折图像。提问：“这些翻折现象有什么共同特征？如何用数学语言描述图像的‘翻折’？”通过生活实例唤醒学生对“对称”的直观认知，自然引出“翻折变换”的定义：将图像上每一点关于某条直线（翻折轴）作对称变换，得到新图像的过程。2新知探究：从点的变换到图像的变换（25分钟）活动1：观察具体函数的翻折给出函数y=2x²的图像，提问：“若将其关于x轴翻折，新图像上的点与原图像上的点有何关系？”引导学生选取原图像上的点（0,0）、（1,2）、（-1,2），观察翻折后的对应点（0,0）、（1,-2）、（-1,-2），发现规律：原图像上的点(x,y)翻折后变为(x,-y)。进一步提问：“如何用解析式表示翻折后的函数？”学生尝试将原函数中的y替换为-y，即-y=2x²，整理得y=-2x²。验证：翻折后的抛物线开口向下，顶点仍为(0,0)，与实际图像一致。活动2：推广到一般式y=ax²+bx+c2新知探究：从点的变换到图像的变换（25分钟）活动1：观察具体函数的翻折设原函数为y=ax²+bx+c，图像上任意一点(x,y)关于x轴翻折后的点为(x,y')，则y'=-y。代入原解析式得：y'=-(ax²+bx+c)=-ax²-bx-c。结论：二次函数y=ax²+bx+c关于x轴翻折后的解析式为y=-ax²-bx-c（开口方向相反，a变为-a；顶点坐标由(h,k)变为(h,-k)）。活动3：探究y轴翻折的点坐标关系以y=(x-1)²+2为例，原图像顶点为(1,2)，选取点(1,2)、(2,3)、(0,3)，翻折后对应点为(-1,2)、(-2,3)、(0,3)，发现规律：原图像上的点(x,y)翻折后变为(-x,y)。推导解析式：将原函数中的x替换为-x，得y=(-x-1)²+2=(x+1)²+2。验证：翻折后的抛物线顶点为(-1,2)，对称轴为x=-1，与实际图像吻合。活动4：一般式推导原函数y=ax²+bx+c，任意一点(x,y)关于y轴翻折后的点为(x',y)，则x'=-x，即x=-x'。代入原解析式得：y=a(-x')²+b(-x')+c=ax'²-bx'+c。结论：二次函数y=ax²+bx+c关于y轴翻折后的解析式为y=ax²-bx+c（开口方向不变，a不变；顶点坐标由(h,k)变为(-h,k)）。活动3：探究y轴翻折的点坐标关系3.2.3关于任意直线x=h的翻折：深化理解活动5：探究直线x=h翻折的点坐标关系以翻折轴为x=2为例，原函数y=(x-1)²+3，顶点为(1,3)。提问：“顶点关于x=2翻折后的坐标是多少？”引导学生用对称点公式：若点(m,n)关于x=h对称，则对称点为(2h-m,n)，故顶点(1,3)翻折后为(3,3)。选取原图像上的点(1,3)、(2,4)、(0,4)，翻折后对应点为(3,3)、(2,4)、(4,4)，验证对称点公式的正确性。推导解析式：原函数上任意一点(x,y)关于x=h翻折后的点为(2h-x,y)，代入原解析式得：y=a(2h-x-h')²+k（若原函数为顶点式y=a(x-h')²+k），整理得y=a(x-(2h-h'))²+k。活动3：探究y轴翻折的点坐标关系结论：二次函数y=a(x-h')²+k关于直线x=h翻折后的解析式为y=a(x-(2h-h'))²+k（顶点横坐标变为2h-h'，纵坐标不变）。设计意图：通过“特殊函数→一般式→任意翻折轴”的递进，让学生经历“观察-猜想-验证-归纳”的完整探究过程，体会“点的变换决定图像变换”的核心思想。3巩固练习：从单一变换到综合应用（15分钟）3.1基础训练（独立完成）函数y=3x²-2x+1关于x轴翻折后的解析式为？函数y=-2(x+3)²+5关于y轴翻折后的顶点坐标为？函数y=(x-2)²-4关于直线x=1翻折后的解析式为？0102033巩固练习：从单一变换到综合应用（15分钟）3.2综合提升（小组合作）问题：已知抛物线C1：y=x²-4x+3，将其关于x轴翻折得到C2，再将C2向右平移2个单位得到C3。求C3的解析式，并判断点(1,-2)是否在C3上。设计意图：分层练习兼顾不同水平学生，基础题巩固翻折规律，综合题融合翻折与平移，培养知识迁移能力。4课堂小结：从零散知识到系统框架（5分钟）引导学生从“翻折轴类型”“点的坐标变换”“解析式变化规律”“图像特征”四个维度总结，教师板书思维导图：翻折变换04├─关于x轴├─关于x轴│├─点变换：(x,y)→(x,-y)│└─解析式：y→-y，即y=-ax²-bx-c├─关于y轴│├─点变换：(x,y)→(-x,y)│└─解析式：x→-x，即y=ax²-bx+c└─关于x=h├─点变换：(x,y)→(2h-x,y)└─解析式：顶点横坐标变为2h-h'，即y=a(x-(2h-h'))²+k05课后延伸：从课堂到生活的应用1分层作业基础题：教材P56习题21.3第8题（关于x轴、y轴的翻折）；拓展题：某桥梁的抛物线型拱梁解析式为y=-0.1x²+2x（x为水平距离，y为高度），若在其正下方修建一座“镜像桥”（关于水面x轴翻折），求镜像桥的最高点坐标；探究题：尝试推导二次函数关于直线y=k翻折的解析式（选做）。2实践任务观察生活中的对称现象（如建筑、商标、自然景观），选取一例用二次函数翻折变换解释其形成原理，下节课分享。结语：数学