2025 九年级数学上册过三点的圆与外接圆课件

一、教学目标与核心问题定位演讲人CONTENTS教学目标与核心问题定位从“点与圆的位置关系”到“过三点的圆”：逐步推导情况1：三点共线外接圆与外心：从理论到应用巩固练习与思维拓展课堂小结与课后延伸目录2025九年级数学上册过三点的圆与外接圆课件各位同学，今天我们要共同探索几何中一个既基础又重要的课题——过三点的圆与外接圆。这部分内容是圆的性质与三角形、多边形位置关系的关键衔接，也是后续学习圆与其他图形综合问题的基础。作为一线数学教师，我常发现同学们在“如何确定一个圆”“三角形外接圆的特点”等问题上存在困惑，今天我们就带着这些疑问，从最基本的点与圆的位置关系出发，逐步揭开其中的数学规律。01教学目标与核心问题定位1三维目标拆解03情感目标：感受数学定理从特殊到一般的归纳过程，体会“确定”一词在几何中的严谨性；通过解决实际问题（如确定圆形物体的圆心），增强数学应用意识。02能力目标：通过动手作图、逻辑推理，提升几何作图能力与空间想象能力；通过分析三点共线与不共线的情况差异，培养分类讨论与反证法的初步应用能力。01知识目标：理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理；掌握三角形外接圆、外心的概念及性质；能准确画出给定三角形的外接圆。2重点与难点剖析重点：理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”的存在性与唯一性；掌握三角形外心的定义及性质（外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等）。难点：对“三点共线时无法作圆”的逻辑证明（反证法的初步渗透）；锐角、直角、钝角三角形外心位置的差异理解。02从“点与圆的位置关系”到“过三点的圆”：逐步推导1复习铺垫：过一点、两点的圆在学习“过三点的圆”前，我们先回顾“过n个点作圆”的基础情况：过1个点作圆：以该点外任意一点为圆心，以两点间距离为半径，可作无数个圆。（如图1-1，点A为定点，O₁、O₂为任意圆心，半径分别为O₁A、O₂A）过2个点作圆：设两点为A、B，圆心需满足到A、B距离相等，即圆心在AB的垂直平分线上（垂直平分线的性质：线上任意一点到线段两端点距离相等）。因此，过A、B两点的圆有无数个，圆心是AB垂直平分线上的任意点，半径为该点到A（或B）的距离。（如图1-2，直线l为AB的垂直平分线，O₁、O₂在l上，半径分别为O₁A、O₂A）通过这两个情况，我们发现：确定圆的关键是确定圆心和半径。过一点或两点时，圆心位置不唯一，因此圆不唯一；那么过三点时，圆心位置能否唯一确定？2探索过三点的圆：共线与不共线的差异我们分两种情况讨论三点的位置关系：三点共线与三点不共线。03情况1：三点共线情况1：三点共线假设三点A、B、C在同一直线l上，能否作一个圆同时经过这三点？我们用反证法分析：假设存在一个圆经过A、B、C三点，圆心为O，则O到A、B、C的距离相等（OA=OB=OC）。根据“过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”，O既在AB的垂直平分线l₁上，又在BC的垂直平分线l₂上。由于A、B、C共线，AB和BC在同一直线l上，因此l₁和l₂都是l的垂线，必然平行（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行）。平行直线没有交点，因此不存在这样的圆心O。结论：共线的三点无法确定一个圆。情况2：三点不共线设三点A、B、C不在同一直线上，能否作一个圆经过这三点？如何作？情况1：三点共线根据“过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”，我们可以分别作AB和AC的垂直平分线l₁和l₂（如图2-1）。由于A、B、C不共线，AB和AC不平行，因此l₁和l₂必相交于一点O（两条不平行直线有且仅有一个交点）。O到A、B的距离相等（O在l₁上），O到A、C的距离相等（O在l₂上），因此OA=OB=OC，以O为圆心、OA为半径作圆，该圆必经过A、B、C三点。接下来验证唯一性：假设存在另一个圆心O’也经过A、B、C三点，则O’必须同时在AB、AC的垂直平分线上，而两条垂直平分线仅相交于O点，因此O’=O。结论：不在同一直线上的三点确定一个圆（“确定”即“有且仅有”）。这一结论是几何中“圆的确定性”的核心定理，也是后续学习三角形外接圆的基础。04外接圆与外心：从理论到应用1概念定义与性质推导外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点（由2.2的推导可知，外心是唯一的）。外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）；外心的位置与三角形的类型有关：锐角三角形：外心在三角形内部（如图3-1）；直角三角形：外心在斜边的中点（因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即斜边中点到三个顶点的距离相等，如图3-2）；钝角三角形：外心在三角形外部（如图3-3）。1概念定义与性质推导为了验证这一点，同学们可以自己动手画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出三边的垂直平分线，观察交点位置。我在教学中发现，许多同学最初认为“外心一定在三角形内部”，通过实际作图后，能直观理解位置差异的原因——垂直平分线的交点由三角形的角度决定。2实际应用：确定圆形物体的圆心生活中，我们常遇到这样的问题：一个破损的圆形镜片，只剩下边缘的三个碎片，如何确定原镜片的圆心？根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，我们可以在碎片边缘取三个不共线的点A、B、C，分别作AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心O（如图3-4）。这一方法在考古修复、机械零件定位中都有实际应用，体现了数学知识的实用性。05巩固练习与思维拓展1基础练习：概念辨析与作图判断正误：任意三个点都可以确定一个圆。（×，三点共线时不能）三角形的外心是三边中线的交点。（×，外心是垂直平分线的交点，中线交点是重心）直角三角形的外心在直角顶点。（×，在斜边中点）作图题：作锐角三角形ABC的外接圆，标出外心O；作钝角三角形DEF的外接圆，观察外心位置；作直角三角形GHI的外接圆，验证外心是否在斜边中点。（同学们可在练习本上完成，教师巡视指导，重点纠正垂直平分线的作图方法：用尺规作线段的垂直平分线时，需以线段两端点为圆心、大于线段一半长度为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线。）2能力提升：综合应用例1：已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求其外接圆半径。分析：由于△ABC是等腰三角形，外心O在底边BC的垂直平分线上（即顶角平分线）。设BC中点为D，则AD⊥BC，AD=√(AB²-BD²)=√(25-9)=4。设外接圆半径为R，OD=x，则OA=R=AD-OD=4-x（外心在三角形内部，因为是锐角三角形）。在Rt△OBD中，OB²=OD²+BD²，即R²=x²+3²；又OA=R=4-x，故(4-x)²=x²+9，解得x=7/8，R=4-7/8=25/8。例2：四边形ABCD中，若存在一个圆经过四个顶点，则称该四边形为圆内接四边形。试探究：圆内接四边形的四个顶点需满足什么条件？（提示：任意三个顶点不共线，且第四个顶点在外接圆上，即四个顶点共圆。进一步可推导圆内接四边形的性质：对角互补，后续学习中会深入探讨。）06课堂小结与课后延伸1核心知识回顾过三点的圆：三点共线时无法作圆；三点不共线时，存在且仅存在一个圆，圆心是任意两边垂直平分线的交点，半径是圆心到顶点的距离。三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线的交点，外心位置由三角形类型决定（锐角内部、直角斜边中点、钝角外部）。2思想方法提炼反证法：用于证明“共线三点无法作圆”，初步渗透间接证明的逻辑；几何作图与代数计算结合：如例1中通过勾股定理计算外接圆半径，体现数形结合思想。分类讨论：通过分析三点共线与不共线的情况，得出不同结论；3课后作业必做题：课本P85习题24.2第3、5题（作图与外心位置判断）；选做题：查阅资料，了解“费马点”与“外心”的区别，撰写50字小总结（可选）。结语同学们，今天我们从“过一点、两点的圆”出发，逐步推导出“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，进而认识了三角形的外接圆与外心。这一过程不仅是知识的积累，更是几何思维的训练——从观察到猜想，从验证到应用，每