2025 九年级数学上册位似图形相似比计算练习课件

一、课程导入：从生活现象到数学本质的联结演讲人课程导入：从生活现象到数学本质的联结壹知识回顾：位似图形的核心要素与性质贰相似比计算的核心方法与典型例题叁分层练习：从基础巩固到能力提升肆易错点归纳与解题策略伍课堂总结：位似图形相似比的核心逻辑陆目录课后作业（分层设计）柒2025九年级数学上册位似图形相似比计算练习课件01课程导入：从生活现象到数学本质的联结课程导入：从生活现象到数学本质的联结各位同学，当我们用手机拍摄一张照片后，通过“缩放”功能将其放大或缩小，屏幕上的图像虽然大小改变，却依然保持着原有的形状——这种“形状不变、大小成比例”的现象，就是数学中“位似图形”的典型体现。作为九年级上册“图形的相似”章节的核心内容之一，位似图形不仅是相似图形的特殊形式，更是联系几何直观与代数计算的重要桥梁。今天这节课，我们将聚焦“位似图形相似比的计算”，从基础概念出发，通过典型例题与变式训练，逐步掌握这一关键技能。02知识回顾：位似图形的核心要素与性质1位似图形的定义与判定要理解相似比的计算，首先需要明确位似图形的本质特征。根据教材定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。这里有三个关键判定条件：（1）相似性：两个图形必须是相似图形，即对应角相等，对应边成比例；（2）共点性：所有对应顶点的连线必须相交于同一点（位似中心）；（3）平行性：对应边要么平行，要么在同一直线上（后者可视为平行的特殊情况）。去年我带的班级中，有位同学曾疑惑：“如果两个图形相似且对应顶点连线交于一点，但对应边不平行，算不算位似？”当时我们通过画图验证发现，这种情况下对应边的夹角会破坏“形状不变”的特性，因此必须满足平行性条件。这说明定义中的三个条件缺一不可。2位似图形的性质：从相似到位似的延伸1位似图形作为特殊的相似图形，除了具备相似图形的所有性质（如对应角相等、对应边成比例）外，还具有以下独特性质：2（1）位似中心的唯一性：任意两组对应顶点的连线的交点即为位似中心，且所有对应顶点连线必过该点；3（2）对应边的平行性：如前所述，对应边平行或共线，这一性质为后续利用坐标系计算相似比提供了便利；4（3）相似比与距离比的一致性：位似图形的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。例如，若点A与点A'是对应顶点，O为位似中心，则相似比k=OA'/OA（或OA/2位似图形的性质：从相似到位似的延伸OA'，取决于位似图形是放大还是缩小）。这里需要特别注意相似比的顺序：若原图为图形G，位似图形为G'，则k=G'的边长/G的边长；若G'是G的位似图形且放大，则k>1；若缩小，则k<1。这一点是后续计算中最易出错的环节，需要反复强调。03相似比计算的核心方法与典型例题1基于对应边长度的直接计算当已知位似图形的一组对应边长度时，相似比可直接通过“对应边的比值”求得。这是最基础的计算方法，适用于所有位似图形。例1：如图1所示，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为O。已知AB=3cm，A'B'=6cm，求△ABC与△A'B'C'的相似比。分析：根据相似比的定义，相似比k=对应边的比。需注意题目中“△ABC与△A'B'C'”的表述顺序，即原图为△ABC，位似图形为△A'B'C'，因此k=AB/A'B'=3/6=1/2。若题目问“△A'B'C'与△ABC的相似比”，则k=6/3=2。易错提醒：相似比的顺序由“前者”到“后者”，即“甲与乙的相似比”是甲的边长比乙的边长。这一点在解题时需特别标注，避免因顺序颠倒导致错误。2基于位似中心距离的间接计算根据位似图形的性质，相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。当题目中给出位似中心及对应顶点的位置（如坐标系中的坐标）时，可通过计算距离比求得相似比。例2：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，其位似图形△A'B'C'的顶点坐标为A'(2,4)、B'(6,8)、C'(10,2)，位似中心为原点O(0,0)。求△ABC与△A'B'C'的相似比。分析：首先验证是否为位似图形：（1）计算对应顶点连线是否过原点：OA的直线方程为y=2x，A'(2,4)在该直线上；OB的直线方程为y=(4/3)x，B'(6,8)满足y=(4/3)×6=8，在该直线上；OC的直线方程为y=(1/5)x，C'(10,2)满足y=(1/5)×10=2，在该直线上，因此共点性成立。2基于位似中心距离的间接计算（2）计算对应边是否平行：AB的斜率为(4-2)/(3-1)=1，A'B'的斜率为(8-4)/(6-2)=1，斜率相等，故AB∥A'B'；同理可证BC与B'C'、AC与A'C'均平行，满足平行性条件。因此△ABC与△A'B'C'是位似图形。接下来计算相似比：取顶点A与A'，OA的距离为√(1²+2²)=√5，OA'的距离为√(2²+4²)=√20=2√5，因此相似比k=OA/OA'=√5/(2√5)=1/2（或k=OA'/OA=2，需根据题目要求的顺序确定）。方法总结：在坐标系中，若位似中心为原点，对应顶点的坐标满足(x',y')=(kx,ky)，则相似比k即为横、纵坐标的比值（x'/x或y'/y）。例如本例中A'(2,4)=2×(1,2)，B'(6,8)=2×(3,4)，C'(10,2)=2×(5,1)，因此k=2（△A'B'C'与△ABC的相似比）或1/2（△ABC与△A'B'C'的相似比）。3复杂情境下的综合计算：位似中心非原点时的处理当位似中心不在原点时，需通过坐标变换或向量方法计算对应顶点到位似中心的距离比。例3：已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，位似中心为点P(2,1)。其中A(3,3)，A'(5,7)，求相似比。分析：首先计算点A、A'到位似中心P的向量：PA=(3-2,3-1)=(1,2)，PA'=(5-2,7-1)=(3,6)。观察向量关系，PA'=3×PA，说明PA'的长度是PA的3倍，因此相似比k=PA'/PA=3（四边形A'B'C'D'与ABCD的相似比）或1/3（反之）。拓展延伸：若位似中心为P(h,k)，原图顶点为(x,y)，位似图形顶点为(x',y')，则满足向量关系：(x'-h,y'-k)=k(x-h,y-k)，其中k为相似比。这一公式可用于已知部分顶点坐标时求其他顶点坐标或相似比。04分层练习：从基础巩固到能力提升1基础练习：直接应用定义与性质已知△DEF与△D'E'F'是位似图形，位似中心为O，DE=5cm，D'E'=10cm，求△DEF与△D'E'F'的相似比。在坐标系中，△GHI的顶点为G(0,0)、H(2,0)、I(0,2)，其位似图形△G'H'I'的顶点为G'(0,0)、H'(4,0)、I'(0,4)，位似中心为G(0,0)，求相似比。（答案：1.1/2；2.1/2或2，需根据顺序确定）2综合练习：结合坐标系与几何性质如图2所示，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，位似中心为点O，且OA=2cm，OA'=5cm，BC=3cm，求B'C'的长度。已知△JKL的顶点为J(1,1)、K(3,2)、L(2,4)，其位似图形△J'K'L'的顶点为J'(3,3)、K'(9,6)、L'(6,12)，判断位似中心是否在原点，并求相似比。（答案：3.7.5cm；4.位似中心在原点，相似比为3）3挑战练习：位似图形与实际问题结合1地图比例尺为1:50000，即地图上1cm代表实际500m。若地图上两个点的距离为4cm，实际距离为2000m，这是否属于位似现象？若为位似图形，相似比是多少？2摄影师将一张8cm×10cm的照片放大为16cm×20cm的照片，若放大前后的照片是位似图形，求相似比，并说明位似中心的可能位置。3（答案：5.是，相似比1:50000；6.相似比2，位似中心可为照片中心或任意一点，因放大时各对应顶点连线交于同一点）05易错点归纳与解题策略1常见错误类型（1）相似比顺序颠倒：未注意题目中“甲与乙”的表述顺序，误将乙的边长比甲的边长作为相似比；1（2）忽略位似中心的存在：仅通过相似性判断位似图形，未验证对应顶点连线是否共点；2（3）坐标系计算中的符号错误：在计算坐标差时未考虑位似中心的位置，导致距离比计算错误；3（4）实际问题中的单位转换：如比例尺问题中未统一单位（cm与m），导致相似比错误。42解题策略建议01020304（1）标注顺序：在题目中用“原图→位似图”的箭头标注，明确相似比的前后项；（2）画图验证：对复杂问题，通过绘制草图观察对应顶点连线是否相交于一点，对应边是否平行；（3）向量辅助：在坐标系中，利用向量的数乘关系快速判断相似比（如PA'=kPA，则k为相似比）；（4）单位统一：实际问题中先将单位转换为一致（如全部转换为cm或m），再计算比值。06课堂总结：位似图形相似比的核心逻辑课堂总结：位似图形相似比的核心逻辑通过本节课的学习，我们从位似图形的定义出发，逐步推导了相似比的计算方法：本质：相似比是位似图形对应边的比值，也是对应顶点到位似中心距离的比值；关键：明确相似比的顺序（“前者”边长比“后者”边长）；工具：坐标系中利用坐标的数乘关系或向量的比例关系快速计算；应用：联系生活中的缩放现象（如地图、照片），理解位似的实际意义。正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”位似图形的学习正是“数形结合”的典范——通过图形的直观理解相似性，通过代数的计算精确刻画相似比。希望同学们课后通过练习巩固，真正掌握这一重要几何工具。07课后作业（分层设计）课后作业（分层设计）A组（基础巩固）课本P45练习第1、2题（对应边直接计算）；已知△MNO与△M'N'O'位似，位似中心为O，OM=4cm，OM'=6cm，求相似比及MN与M'N'的长度比。B组（能力提升）在坐标系中，△PQR的顶点为P(-1,2)、Q(3,-1)、R(2,4)，其位似图形△P'Q'R'的顶点为P'(-3,6)、Q'(9,-3)、R'(