2025 九年级数学上册位似图形相似比与坐标关系课件

课程导入：从相似到位似的思维延伸演讲人2025九年级数学上册位似图形相似比与坐标关系课件目录01课程导入：从相似到位似的思维延伸02核心概念：位似图形的定义与特征核心概念：位似图形的定义与特征相似比的数学本质与量化表达坐标系中的位似变换：坐标关系的规律探究03典型例题与易错点分析典型例题与易错点分析知识升华：位似图形的实际应用与数学思想04课堂小结与课后任务05课程导入：从相似到位似的思维延伸课程导入：从相似到位似的思维延伸同学们，上节课我们系统学习了相似图形的概念与性质，知道了形状相同但大小不一定相同的图形是相似图形，且相似图形的对应角相等、对应边成比例。今天，我们要将相似图形的研究推向更具体的一类——位似图形。记得上周课间，有位同学问我：“老师，地图上的比例尺缩放和数学中的相似图形有关系吗？”这个问题问得很好。当我们将一张地图按比例放大或缩小时，不仅图形保持相似，而且所有对应点的连线似乎都交汇于同一个点（比如地图的中心标记）。这种特殊的相似现象，就是我们今天要学习的“位似”。它既是相似图形的特殊情形，又因“对应点连线共点”的特性，与坐标系中的坐标变换建立了紧密联系。06核心概念：位似图形的定义与特征1位似图形的严格定义要理解位似图形，我们需要从“位似”的字面含义入手——“位置相似”。数学中，位似图形的定义可表述为：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比又叫做位似比。这里需要注意三个关键要素：相似性：位似图形首先是相似图形，满足相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例）；共点性：所有对应顶点的连线必须相交于同一点（位似中心）；平行性：对应边要么平行，要么在同一直线上（这一特性保证了位似变换的“缩放”本质）。2位似图形与一般相似图形的区别与联系为了帮助大家更清晰地区分，我们可以用表格对比：|特征|一般相似图形|位似图形||---------------------|-----------------------|-------------------------||对应点连线|不一定共点|必交于同一位似中心||对应边关系|可能不平行|平行或共线||变换本质|任意相似变换|以位似中心为定点的缩放|举个例子：两个大小不同的正五边形，若对应顶点连线交于一点且对应边平行，则是位似图形；若仅形状相同但对应点连线不共点，则只是一般相似图形。3位似图形的分类根据位似中心的位置，位似图形可分为两类：外位似：位似中心在两个图形的同侧（对应点在位似中心的同一侧）；内位似：位似中心在两个图形之间（对应点在位似中心的两侧）。例如，用投影仪将幻灯片投影到屏幕上，若幻灯片与屏幕在位似中心（投影仪镜头）的同侧，则是外位似；若屏幕位于镜头与幻灯片之间，则是内位似。07相似比的数学本质与量化表达1相似比的定义与符号表示相似比（位似比）是位似图形中对应边的比值，通常用字母(k)表示。若图形(A)与图形(B)的相似比为(k)，则图形(B)与图形(A)的相似比为(\frac{1}{k})。需要注意：相似比的顺序很重要。例如，若原图形与新图形的相似比为(2:1)，则新图形是原图形的(\frac{1}{2})倍；若相似比为(1:2)，则新图形是原图形的(2)倍。2相似比与图形度量的关系位似图形作为特殊的相似图形，其相似比与周长、面积的关系遵循相似图形的一般规律：周长比：等于相似比(k)；面积比：等于相似比的平方(k^2)；对应线段（如高、中线、角平分线）的比：等于相似比(k)。例如，若原三角形的周长为(30,\text{cm})，与它位似的新三角形相似比为(3:2)，则新三角形的周长为(30\times\frac{3}{2}=45,\text{cm})，面积比为(9:4)。3相似比的符号意义（内位似与外位似的区别）在坐标系中，相似比的符号可以反映位似的类型：若相似比(k>0)，则为外位似（对应点与位似中心同侧）；若相似比(k<0)，则为内位似（对应点与位似中心异侧）。例如，位似中心在原点，原图形上一点((2,3))，若相似比(k=2)，则对应点为((4,6))（外位似）；若(k=-2)，则对应点为((-4,-6))（内位似）。08坐标系中的位似变换：坐标关系的规律探究坐标系中的位似变换：坐标关系的规律探究位似图形与坐标系的结合，是本节的核心难点与重点。通过坐标变换，我们可以用代数方法精确描述位似变换的过程，这也是后续学习函数图像变换、几何变换的重要基础。1位似中心在坐标原点的情形当位似中心为坐标原点(O(0,0))时，位似变换的坐标规律最为简洁。规律推导：设原图形上任意一点(P(x,y))，位似中心为原点，相似比为(k)，则变换后的对应点(P'(x',y'))满足：[x'=kx,\quady'=ky]推导依据：由于位似中心在原点，(OP)与(OP')共线，且(\frac{OP'}{OP}=|k|)。根据向量的数乘原理，若(k>0)，则(P')与(P)同向；若(k<0)，则反向。示例验证：原图形顶点(A(1,2))，相似比(k=3)，则(A'(3,6))；1位似中心在坐标原点的情形原图形顶点(B(-2,4))，相似比(k=-\frac{1}{2})，则(B'(-2\times(-\frac{1}{2}),4\times(-\frac{1}{2}))=(1,-2))。2位似中心不在坐标原点的情形当位似中心为任意点(C(h,k))时，坐标变换需要分两步考虑：平移坐标系至位似中心，应用原点位似变换，再平移回原坐标系。坐标变换公式：设原图形上一点(P(x,y))，位似中心(C(h,k))，相似比为(k)，则对应点(P'(x',y'))满足：[x'=h+k(x-h),\quady'=k+k(y-k)]公式解释：第一步：将点(P)平移至以(C)为原点的新坐标系，得到点(P_1(x-h,y-k))；2位似中心不在坐标原点的情形第二步：在新坐标系中进行位似变换，得到点(P_2(k(x-h),k(y-k)))；第三步：将(P_2)平移回原坐标系，得到(P'(h+k(x-h),k+k(y-k)))。示例验证：位似中心(C(1,1))，原图形顶点(D(3,4))，相似比(k=2)，则：[x'=1+2\times(3-1)=1+4=5]2位似中心不在坐标原点的情形[y'=1+2\times(4-1)=1+6=7]即(D'(5,7))，验证：(CD=\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13})，(CD'=\sqrt{(5-1)^2+(7-1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13})，符合相似比(2:1)。3坐标关系的几何意义通过坐标变换公式，我们可以更深刻地理解位似的本质：位似是一种以位似中心为定点的均匀缩放变换。无论是原点还是任意点作为位似中心，变换后的图形都是原图形在各个方向上按同一比例缩放的结果，这保证了图形的“相似性”和“共点性”。09典型例题与易错点分析1典型例题解析例1：如图（课件展示图形），△ABC的顶点坐标为(A(0,2))、(B(2,0))、(C(-2,0))，以原点为位似中心，相似比为(\frac{1}{2})作位似图形△A'B'C'，求△A'B'C'的顶点坐标。解析：根据原点位似的坐标公式(x'=kx,y'=ky)，相似比(k=\frac{1}{2})，则：(A'(0\times\frac{1}{2},2\times\frac{1}{2})=(0,1))(B'(2\times\frac{1}{2},0\times\frac{1}{2})=(1,0))1典型例题解析(C'(-2\times\frac{1}{2},0\times\frac{1}{2})=(-1,0))例2：已知位似中心为(C(2,3))，原图形上一点(P(5,7))，变换后的对应点(P'(8,11))，求相似比(k)。解析：根据位似中心不在原点的坐标公式：[8=2+k(5-2)\implies6=3k\impliesk=2][11=3+k(7-3)\implies8=4k\impliesk=2]因此，相似比(k=2)。2学生易错点总结在教学实践中，学生容易出现以下错误，需重点提醒：相似比的方向混淆：误将原图形与新图形的相似比颠倒，例如将“原图形与新图形的比为(2:1)”理解为新图形是原图形的2倍（正确应为(\frac{1}{2})倍）。位似中心不在原点时的坐标计算错误：忘记平移坐标系的步骤，直接应用原点位似公式，导致坐标错误。内位似的符号处理：忽略相似比为负数时对应点的方向，例如相似比(k=-2)时，对应点应在位似中心的另一侧，但学生可能漏掉负号。10知识升华：位似图形的实际应用与数学思想1位似图形在生活中的应用位似变换是一种重要的几何变换，广泛应用于实际生活：地图与比例尺：地图是实际地理区域的位似图形，位似中心可视为地图的投影中心，相似比为比例尺；建筑设计与模型制作：建筑模型是实际建筑的位似图形，位似中心通常为观察点，相似比决定模型的大小；摄影与投影：相机成像、投影仪投影本质上都是位似变换，位似中心为镜头，相似比由物距与像距决定。030402012蕴含的数学思想1位似图形的学习中，我们渗透了以下重要数学思想：2数形结合：通过坐标系将几何图形与代数坐标联系，用代数方法研究几何变换；3变换思想：将位似视为一种特殊的相似变换，理解“变与不变”的辩证关系（形状不变，大小改变）；4从特殊到一般：先研究位似中心在原点的特殊情形，再推广到任意位似中心，体现数学研究的一般方法。11课堂小结与课后任务1课堂小结12543通过本节课的学习，我们重点掌握了以下内容：位似图形的定义（相似性、共点性、平行性）；相似比的数学意义（与周长、面积的关系，符号与内外位似的联系）；坐标系中在位似中心为原点和任意点时的坐标变换公式；位似