2025 九年级数学上册位似图形坐标缩放规律课件

一、教学目标与重难点分析演讲人教学目标与重难点分析壹从生活到数学：位似坐标变换的直观引入贰核心探究：坐标系下的位似坐标规律叁分层练习：从理解到应用肆总结与反思：位似坐标规律的核心本质伍课后作业（分层设计）陆目录2025九年级数学上册位似图形坐标缩放规律课件各位同学、老师们，大家好！今天我们将共同探索“位似图形的坐标缩放规律”。作为图形变换的重要组成部分，位似不仅是中考的高频考点，更是连接几何直观与代数运算的关键桥梁。在之前的学习中，我们已经掌握了位似图形的定义（两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点）、位似中心（对应顶点连线的交点）和位似比（相似比）等核心概念。今天，我们将聚焦“坐标系下的位似变换”，通过具体案例、数据观察和规律归纳，揭开坐标缩放的数学本质。01教学目标与重难点分析1教学目标知识与技能：理解位似图形在平面直角坐标系中的坐标变换规律；能根据位似中心、位似比准确计算变换前后图形顶点的坐标；掌握不同位似中心（原点或非原点）下坐标缩放的差异。01过程与方法：通过“观察-猜想-验证-归纳”的探究过程，经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维训练；借助坐标系的平移、代数运算等方法，提升数形结合能力。02情感态度与价值观：感受数学规律的简洁性与普适性，体会坐标系在几何变换中的“翻译”作用；通过小组合作探究，培养严谨的数学表达习惯和协作意识。032教学重难点重点：位似图形在坐标系中的坐标缩放规律（特别是位似中心在原点与非原点时的差异）。难点：非原点位似中心下坐标变换公式的推导；位似比的符号与图形位置（同侧或异侧）的对应关系。02从生活到数学：位似坐标变换的直观引入1生活中的位似坐标缩放大家是否注意过手机地图的“缩放”功能？当我们将地图从1:10000放大到1:5000时，地图上每个点的位置都会以屏幕中心（位似中心）为基准，按比例向外“拉伸”；反之缩小则向内“压缩”。类似地，照片编辑软件中的“缩放”功能，也是以某个固定点（如左上角）为中心，调整图像的大小。这些现象的本质，就是坐标系下的位似变换——图形的位置和大小变化，但形状不变，且对应点连线交于位似中心。2复习：位似图形的基本性质对应顶点的连线经过位似中心；若k>0，对应点在位似中心同侧；若k<0，对应点在位似中心异侧（相当于先缩放再中心对称）。位似图形是相似图形，位似比k等于相似比；为了后续探究，我们先回顾位似图形的核心性质：03核心探究：坐标系下的位似坐标规律1位似中心在原点时的坐标规律探究活动1：特殊位似中心（原点）的坐标变换我们以原点O(0,0)为位似中心，取一个简单图形——△ABC，顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)。假设位似比k=2，即新图形△A'B'C'与原图形的相似比为2:1，且对应点与原点共线。1位似中心在原点时的坐标规律绘制图形并观察对应点位置在坐标系中画出△ABC，连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'，使OA':OA=2:1。观察A'、B'、C'的坐标：A'(2,4)（1×2,2×2）B'(6,2)（3×2,1×2）C'(4,8)（2×2,4×2）步骤2：改变位似比，验证规律若位似比k=1/2，则对应点坐标应为：A''(0.5,1)（1×1/2,2×1/2）B''(1.5,0.5)（3×1/2,1×1/2）C''(1,2)（2×1/2,4×1/2）1位似中心在原点时的坐标规律绘制图形并观察对应点位置步骤3：归纳规律当位似中心在原点时，原图形上任意一点P(x,y)经过位似比为k的变换后，对应点P'(x',y')的坐标满足：x'=kx，y'=ky特别说明：若k为负数（如k=-2），则对应点P'的坐标为(-2x,-2y)，此时P'与P在位似中心（原点）的异侧，相当于先按|k|缩放，再关于原点对称。2位似中心不在原点时的坐标规律探究活动2：非原点位似中心的坐标变换实际问题中，位似中心未必在原点。例如，设计海报时，可能以页面左下角（坐标(a,b)）为中心缩放图案。此时，如何推导坐标变换规律？案例分析：设位似中心为点D(m,n)，原图形上一点P(x,y)，位似比为k，求变换后点P'(x',y')的坐标。推导思路：平移坐标系：将位似中心D(m,n)平移至新原点O'(0,0)，则原坐标系中的点P(x,y)在新坐标系中的坐标为P''(x-m,y-n)（相当于用原坐标减去D的坐标）。应用原点位似规律：在新坐标系中，位似变换后的点P'''的坐标为(k(x-m),k(y-n))（因为此时位似中心是新原点）。2位似中心不在原点时的坐标规律探究活动2：非原点位似中心的坐标变换平移回原坐标系：将新坐标系中的P'''(k(x-m),k(y-n))平移回原坐标系，需加上D的坐标(m,n)，因此P'(x',y')的坐标为：x'=m+k(x-m)=kx+m(1-k)y'=n+k(y-n)=ky+n(1-k)验证案例：设位似中心D(1,1)，原图形点P(3,2)，位似比k=2。平移后P''(3-1,2-1)=(2,1)；新坐标系下位似点P'''(2×2,2×1)=(4,2)；平移回原坐标系：P'(1+4,1+2)=(5,3)。直接代入公式验证：x'=2×3+1×(1-2)=6-1=5，y'=2×2+1×(1-2)=4-1=3，结果一致。2位似中心不在原点时的坐标规律探究活动2：非原点位似中心的坐标变换规律总结：当位似中心为D(m,n)时，原图形点P(x,y)变换后点P'(x',y')的坐标为：x'=kx+m(1-k)y'=ky+n(1-k)0301023位似比的符号与图形位置的关系当k>0时，P'与P在位似中心D的同侧（如k=2时，P'在D远离P的一侧；k=1/2时，P'在D靠近P的一侧）。当k<0时，P'与P在位似中心D的异侧（如k=-2时，P'在D的另一侧，且距离是2倍）。举例：位似中心D(0,0)，点P(1,1)，k=-1时，P'(-1,-1)（关于原点对称）；k=-2时，P'(-2,-2)（先对称再放大2倍）。04分层练习：从理解到应用1基础巩固（位似中心在原点）已知△ABC顶点坐标A(2,3)、B(4,1)、C(1,2)，以原点为位似中心，位似比k=3，求△A'B'C'的顶点坐标。若位似比k=-1/2，求上述△ABC变换后的顶点坐标，并描述图形位置变化。2能力提升（位似中心非原点）矩形ABCD顶点坐标A(1,1)、B(3,1)、C(3,2)、D(1,2)，以D(1,2)为位似中心，位似比k=2，求变换后矩形A'B'C'D'的顶点坐标。已知位似中心D(2,3)，变换后点P'(5,7)，位似比k=2，求原图形中点P的坐标。3实际应用（数学与生活）某学校平面图中，图书馆坐标为(10,20)，操场坐标为(40,50)，以校门(5,5)为位似中心放大2倍绘制新平面图，求图书馆和操场在新图中的坐标。05总结与反思：位似坐标规律的核心本质1知识网络回顾231位似中心在原点：P(x,y)→P'(kx,ky)（k为位似比）。位似中心在D(m,n)：P(x,y)→P'(kx+m(1-k),ky+n(1-k))（通过坐标系平移推导）。位似比的符号：k>0同侧，k<0异侧（含中心对称）。2数学思想提炼数形结合：通过坐标系将几何变换转化为代数运算，体现“以数解形”的思想。化归思想：将非原点位似中心问题通过平移转化为原点问题，再还原求解。3学习反思建议注意区分位似比与相似比的关系（位似比是相似比的绝对值，符号表示方向）。非原点位似中心的公式可通过“先平移-变换-再平移”的步骤推导，避免死记硬背。06课后作业（分层设计）课后作业（分层设计）基础题：教材P65习题2、3（位似中心在原点的坐标计算）。提高题：完成能力提升部分的2道练习题（非原点位似中心）。探究题：尝试推导当位似中心为D(m,n)、位似比为k时，原图形与变换图形的面积比，并结合