2025 九年级数学上册相似三角形判定预备定理课件

一、教学背景分析演讲人教学背景分析壹教学目标设定贰教学重难点突破叁教学过程设计（递进式探究）肆作业布置与分层提升伍结语：预备定理的价值与几何学习的意义陆目录2025九年级数学上册相似三角形判定预备定理课件01教学背景分析教学背景分析作为一线数学教师，我始终认为，每一个几何定理的教学都应建立在“知识脉络”与“学生认知”的双重坐标系中。相似三角形是初中几何“图形与几何”领域的核心内容之一，其判定定理的学习更是连接全等三角形、平行线分线段成比例等知识的重要桥梁。而“相似三角形判定预备定理”（以下简称“预备定理”）作为相似三角形判定体系的起点，既是平行线分线段成比例定理的直接应用，又是后续学习相似三角形判定定理（如“AA”“SAS”“SSS”）的基础，具有承上启下的关键作用。从学情来看，九年级学生已掌握全等三角形的判定、平行线的性质、平行线分线段成比例定理（即“基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”）等知识，具备一定的几何直观与推理能力。但他们在“从线段比例关系到图形相似关系”的思维跨越上仍存在障碍，对“辅助线构造”“定理的多场景应用”等问题容易产生困惑。因此，本节课需通过“观察—猜想—验证—应用”的探究路径，帮助学生实现从“零散知识”到“系统方法”的提升。02教学目标设定教学目标设定基于课程标准与教材要求，结合学生认知特点，本节课的教学目标可分解为以下三个维度：1知识与技能目标STEP3STEP2STEP1理解并掌握相似三角形判定预备定理的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似。能准确表述定理的条件与结论，明确“截线”的位置（在三角形内部或外部）对图形的影响。初步应用预备定理解决简单的几何问题，如证明三角形相似、求线段比例或长度。2过程与方法目标通过“画图测量—猜想关系—逻辑证明”的探究过程，经历从特殊到一般、从直观到抽象的数学思维训练，发展合情推理与演绎推理能力。在定理证明中体会“辅助线构造”的必要性，感悟“转化思想”（将未知问题转化为已知定理）与“类比思想”（类比全等三角形的研究路径）。3情感态度与价值观目标通过对生活中相似图形的观察（如地图缩放、建筑模型），感受数学与现实的联系，激发几何学习兴趣。在小组合作探究中体验“发现—验证”的乐趣，培养严谨的数学态度与团队协作意识。03教学重难点突破1教学重点：预备定理的探究过程与内容掌握预备定理的核心是“平行线”与“相似三角形”的关联，其探究需以平行线分线段成比例定理为基础。教学中需通过具体操作（如尺规作图、测量计算）让学生直观感知“平行”带来的角度与边长关系，再通过逻辑证明深化理解。2教学难点：定理的证明（辅助线构造）与多场景应用难点一：定理证明中，学生常因“如何构造辅助线”产生困惑。需引导学生回顾平行线分线段成比例定理的证明思路（构造平行四边形或利用面积法），类比迁移辅助线的添加方法。难点二：定理的应用场景包括“截线在三角形内部”和“截线在两边延长线上”两种情况，学生易忽略后者。需通过对比作图与例题分析，强化对“截线位置”的理解。04教学过程设计（递进式探究）1情境引入：从生活现象到数学问题“同学们，上周我带大家参观了城市规划馆，大家是否注意到展厅里的‘建筑模型’？”（展示模型与实物的对比图）“模型与实物形状相同、大小不同，这样的图形在数学中被称为‘相似图形’。而三角形作为最基本的几何图形，其相似关系该如何判定呢？今天我们就从一个基础定理入手——相似三角形判定预备定理。”通过生活实例激活学生的“相似”认知后，引导学生回顾全等三角形的判定（如“SAS”“ASA”），并对比提出问题：“全等是相似的特殊情况（相似比为1），那么一般的相似三角形是否也可以通过‘角’或‘边’的关系判定？”2探究活动一：观察猜想——平行截线与三角形的关系活动1：画图测量，发现规律请学生在练习本上画出△ABC，取AB边上一点D，过D作DE∥BC，交AC于E（如图1）。要求：测量∠ADE、∠ABC、∠AED、∠ACB的度数；计算AD/AB、AE/AC、DE/BC的比值（精确到0.1）。（学生操作后，教师用几何画板动态演示：改变D点位置，观察角度是否始终相等，比值是否始终相等。）提问引导：“∠ADE与∠ABC有何关系？为什么？”（由DE∥BC，根据平行线的性质，同位角相等，故∠ADE=∠ABC；同理∠AED=∠ACB。）2探究活动一：观察猜想——平行截线与三角形的关系活动1：画图测量，发现规律“AD/AB、AE/AC、DE/BC的比值有何特点？”（通过测量与几何画板演示，学生发现三个比值相等。）初步猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得到的三角形与原三角形的对应角相等、对应边成比例，即两三角形相似。3探究活动二：逻辑证明——从猜想走向定理问题1：如何证明△ADE∽△ABC？（引导学生回顾相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形相似。）已知：DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E（图1）。求证：△ADE∽△ABC。分析过程：对应角相等已由平行线性质得出：∠A=∠A（公共角），∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB。需证明对应边成比例：AD/AB=AE/AC=DE/BC。问题2：如何证明AD/AB=AE/AC？（回顾“平行线分线段成比例定理”：三条平3探究活动二：逻辑证明——从猜想走向定理行线截两条直线，所得的对应线段成比例。）教师引导学生构造“三条平行线”：过点A作直线l∥DE∥BC（或直接利用DE∥BC的条件），将AB、AC视为被平行线DE、BC所截的两条直线，则根据平行线分线段成比例定理，AD/DB=AE/EC，进而通过合比性质得AD/(AD+DB)=AE/(AE+EC)，即AD/AB=AE/AC。问题3：如何证明DE/BC=AD/AB？（需构造辅助线，将DE与BC的关系转化为线段比例。）方法一（构造平行四边形）：过点D作DF∥AC，交BC于F（如图2）。由DE∥BC、DF∥AC，得四边形DFCE为平行四边形，故DE=FC。又△BDF∽△BAC（同理可证），得BF/BC=BD/AB，即BF=BCBD/AB。因此，FC=BC-BF=BC(1-BD/AB)=BCAD/AB，而DE=FC，故DE/BC=AD/AB。3探究活动二：逻辑证明——从猜想走向定理方法二（面积法）：由DE∥BC，△ADE与△ABC的高之比等于AD/AB（平行线间距离成比例），故面积比为(AD/AB)²。又△ADE与△ABC有公共角∠A，面积比也等于(ADAE)/(ABAC)。由AD/AB=AE/AC=k，得面积比为k²，与前式一致，故DE/BC=k=AD/AB。定理总结：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似。（强调“或两边的延长线”的情况，展示图3：DE∥BC，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上，此时△ADE仍与△ABC相似。）4探究活动三：应用提升——定理的多场景实践例1（基础应用）：如图1，DE∥BC，AD=2，DB=3，BC=10，求DE的长度。分析：由预备定理，△ADE∽△ABC，故DE/BC=AD/AB。AB=AD+DB=5，AD/AB=2/5，因此DE=10×(2/5)=4。例2（拓展应用）：如图4，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，DE∥BC，AD=3，AB=5，AC=4，求AE的长度。分析：学生易忽略“延长线”的情况，需强调定理中“截其他两边或两边的延长线”的表述。此时△ADE∽△ABC，对应边比例为AD/AB=AE/AC。AD=3，AB=5（注意AB是原边，AD是延长后的线段，故AD/AB=3/5），因此AE=AC×(AD/AB)=4×(3/5)=12/5。4探究活动三：应用提升——定理的多场景实践分析：需两次应用预备定理。由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，故E是AC中点；由EF∥AB，得△EFC∽△ABC（EF∥AB，截AC、BC两边）。例3（综合应用）：如图5，△ABC中，D是AB中点，DE∥BC交AC于E，EF∥AB交BC于F。求证：△EFC∽△ABC。学生练习：分组完成教材习题，教师巡视指导，重点关注“对应边比例”的书写是否规范（如△ADE∽△ABC时，AD对应AB，DE对应BC），以及“延长线情况”的处理。0102035总结反思：知识脉络与思维方法1教师引导：“回顾本节课，我们通过‘生活实例—画图猜想—逻辑证明—应用拓展’的路径，学习了相似三角形判定预备定理。请同学们从以下三个角度总结：2定理内容：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似；3关键关联：定理的核心是‘平行线’带来的‘对应角相等’和‘对应边成比例’，前者由平行线性质保证，后者由平行线分线段成比例定理推导；4思想方法：类比全等三角形的研究思路（从特殊到一般），运用转化思想（将相似问题转化为已知的平行线性质与比例线段）。”5学生分享：邀请2-3名学生总结本节课的收获与疑问，教师针对性解答（如“截线在三角形外时，对应边的比例是否为‘延长部分与原边的比’”）。05作业布置与分层提升作业布置与分层提升为满足不同学习需求，作业设计分为三个层次：基础巩固（必做）：教材习题1、2（直接应用定理求线段比例）；能力提升（选做）：如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，EF∥BC交CD于F。若AD=2，BC=5，AE:EB=1:2，求EF的长度（需将梯形转化为三角形，应用预备定理）；拓展探究（兴趣选做）：查阅资料，了解预备定理在“相似三角形判定定理”推导中的作用（如证明“AA”判定定理时如何应用预备定理）。06结语：预备定理的价值与几何学习的意义结语：预备定理的价值与几何学习的意义作为相似三角形判定的“第一块基石”，预备定理不仅为后续学习提供了工具，更揭示了几何研究