2025年《高等数学（一）》极限专项训练真题卷

2025年《高等数学（一）》极限专项训练真题卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：1.下列各式中，正确的是（）。(A)lim(x²-1)/(x-1)=lim(x+1)=2asx→1(B)lim(sin3x)/x=sin3asx→0(C)lim(xsin(1/x))asx→0=1(D)lim(1+1/n)ⁿ=easn→-∞2.若lim(f(x)-3x)=0asx→2,则limf(x)=（）。(A)0(B)6(C)3(D)53.“f(x)在x=x₀处有极限”是“f(x)在x=x₀处连续”的（）。(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.函数f(x)=|x|在x=0处（）。(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导5.当x→0时，(x²sin(x)+x)/x³与x等价的无穷小是（）。(A)sin(x)(B)x²(C)2x(D)x³6.“limf(x)=A”的几何意义是（）。(A)当x无限接近A时，f(x)无限接近A(B)存在无数个x₁,x₂使得f(x₁)=A,f(x₂)=A(C)当|x-A|<δ时，|f(x)-A|<ε成立(D)函数y=f(x)在点(A,A)处有定义二、填空题：1.极限lim(1+1/n)ⁿ⁺¹asn→∞=________.2.若函数f(x)在x=0处连续，且lim(x²f(x)+2x)asx→0=1,则limf(x)=________.3.若lim(x³-ax+1)/(x²-1)asx→1=5,则常数a=________.4.函数f(x)=(sin(x)-x)/x²在x=0处的极限是________.5.当x→0时，(e^x-cos(x))与x^n是等价无穷小，则正整数n的最小值是________.6.若lim(f(x)/x)asx→0⁺=2,且lim(f(x)/x)asx→0⁻=-2,则lim(f(x))asx→0________.三、计算题：1.求极限lim(x²-4)/(x-2)asx→2.2.求极限lim(x³-1)/(x-1)asx→1.3.求极限lim(e^2x-1)/(3x)asx→0.4.求极限lim(sin2x)/(tan3x)asx→0.5.求极限lim(1-cosx)/(xsinx)asx→0.6.求极限lim(x+1)^(1/x)asx→+∞.7.求极限lim(x²lnx)asx→0⁺.8.求极限lim(x-2sinx)/(x+3cosx)asx→∞.四、证明题：1.已知数列{a_n}满足a₁=1,a_(n+1)=1+(1/a_n)(n≥1).证明数列{a_n}的极限存在，并求出该极限值。2.证明函数f(x)=x²-4x+5在x=2处连续.试卷答案：一、选择题：1.D2.B3.B4.C5.C6.A二、填空题：1.e2.-13.-34.-1/25.26.不存在三、计算题：1.解析思路：直接代入x=2分母为0，进行分子分母因式分解约简。答案：42.解析思路：直接代入x=1分母为0，进行分子分母因式分解约简。答案：33.解析思路：利用等价无穷小e^x-1≈x(x→0)或洛必达法则。答案：2/34.解析思路：利用等价无穷小sinx≈x,tanx≈x(x→0)进行约简。答案：2/35.解析思路：利用等价无穷小1-cosx≈x²/2,sinx≈x(x→0)进行约简。答案：1/26.解析思路：先取对数化为指数形式，再利用重要极限。答案：e7.解析思路：先进行倒数变换，再利用等价无穷小或洛必达法则。答案：08.解析思路：对分子分母同除以x的最高次幂（x），再利用无穷小量比较或极限四则运算法则。答案：1四、证明题：1.解析思路：利用单调有界准则证明。首先证明数列有界（如用数学归纳法或比值法），然后证明数列单调（比较a_(n+1)与a_n的大小）。设极限为L，列方程求解L。答案