2025 九年级数学上册一元二次方程打折销售问题课件

一、教学背景分析：为何聚焦这个主题？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何聚焦这个主题？教学目标设计：三维目标的有机融合教学过程设计：从生活到数学的渐进式探究打折销售问题课后作业：从巩固到实践的延伸教学反思与总结：数学建模的本质是"用数学说话"目录2025九年级数学上册一元二次方程打折销售问题课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终相信：数学的魅力不仅在于公式的推导，更在于它对生活问题的精准刻画。当我们将"一元二次方程"这一抽象的代数工具与"打折销售"这一日常经济现象结合时，既能让学生感受到数学的实用价值，更能培养他们用数学眼光观察生活、用数学思维解决问题的核心素养。今天，我将围绕"一元二次方程打折销售问题"展开详细讲解，带大家走进数学与生活的交汇点。01教学背景分析：为何聚焦这个主题？1课标与教材定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求："学生要能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型"。九年级上册"一元二次方程"单元是初中方程体系的重要延伸，而"打折销售问题"作为典型的经济类应用问题，既是一元一次方程销售问题的进阶，也是高中函数应用问题的基础，具有承上启下的关键作用。人教版教材将此类问题安排在"实际问题与一元二次方程"小节，通过"探究2"（某种服装的销售利润问题）引出建模思路，这要求我们在教学中既要巩固一元二次方程的解法，更要强化"问题情境-数学建模-求解验证"的完整思维链。2学生学情诊断经过前期学习，九年级学生已掌握：①一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）；②销售问题的基本量关系（利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%，售价=原价×折扣率）；③用一元一次方程解决简单销售问题的经验。但他们在面对"两次打折""销量随价格变化"等复杂情境时，常出现以下困惑：难以准确识别变量间的二次关系（如两次折扣率的乘积导致二次项）；列方程时易混淆"成本价""标价""售价"等概念；解出方程后忽略实际意义检验（如折扣率不能为负数或大于1）。这些痛点正是我们教学的突破口——通过真实情境驱动，帮助学生建立"从生活语言到数学符号"的转化能力。02教学目标设计：三维目标的有机融合1知识与技能目标01能准确复述销售问题中"成本、标价、售价、折扣率、利润、销量"等核心概念的数学表达式；掌握通过分析数量关系，建立一元二次方程解决"单次打折""连续打折""销量随折扣变化"等典型问题的方法；会检验方程解的合理性，解释解的实际意义。02032过程与方法目标在"问题探究-合作交流-归纳总结"的过程中，经历"实际问题→数学建模→求解验证"的完整过程，发展数学抽象与建模能力；通过对比一元一次方程与一元二次方程解决销售问题的差异，体会二次方程在刻画非线性关系时的优势。3情感态度与价值观目标感受数学与经济生活的紧密联系，激发用数学工具解决实际问题的兴趣；1在解决真实问题的过程中，培养严谨的审题习惯与辩证思维（如"高折扣未必高利润"的经济学启示）。2教学重点：建立一元二次方程模型解决打折销售问题的关键步骤（找等量关系、列方程）。3教学难点：识别复杂情境中的二次数量关系（如两次折扣的累积效应、销量与价格的二次函数关系）。403教学过程设计：从生活到数学的渐进式探究1情境导入：生活中的"折扣陷阱"（5分钟）"同学们，上周末我陪妈妈逛商场，看到某品牌羽绒服标价1500元，海报写着'双十二特惠：先打九折，再打八折'，旁边另一家店同款羽绒服标价1600元，写着'直接打七折'。妈妈问我：哪家更划算？我当场算了算，结果让她很惊讶——看似'两次打折'更优惠，实际总价反而更高！这是为什么呢？今天我们就用数学知识揭开'折扣'背后的秘密。"通过真实生活场景引发认知冲突，激发学生的探究欲望。此时顺势展示学习目标："本节课我们将用一元二次方程解决类似的打折销售问题，学会用数学眼光分析商家的促销策略。"2知识回顾：销售问题的"基础工具箱"（8分钟）为帮助学生搭建思维阶梯，先通过表格梳理核心概念的数学表达（投影展示）：|概念|数学表达式|示例（假设成本100元）||-------------|-----------------------------|-------------------------------||成本（C）|进货价/生产成本|进货价100元||标价（M）|商家标注的价格（未打折前）|标价150元（期望利润50元）||售价（S）|实际成交价格=标价×折扣率（d）|打8折：S=150×0.8=120元||利润（P）|售价-成本=S-C|利润=120-100=20元|2知识回顾：销售问题的"基础工具箱"（8分钟）|利润率（r）|利润/成本×100%=P/C×100%|利润率=20/100×100%=20%||销量（Q）|一定时间内售出的数量|原价时月销100件，每降10元多销20件|提问互动："如果一件商品先打x折，再打y折，最终售价如何计算？"引导学生得出：最终售价=标价×x/10×y/10=标价×(xy)/100，这里的xy项会导致二次方程的产生，为后续建模埋下伏笔。3探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.1探究1：单次打折问题（基础模型）例题1：某文具店购进一批笔记本，成本价8元/本，标价15元/本。为促销，商家决定打x折销售，若要保证利润率不低于25%，求x的最小值。教学步骤：审题标注：用不同颜色笔圈出"成本价8元""标价15元""打x折""利润率不低于25%"；变量分析：售价=15×(x/10)，利润=售价-成本=15×(x/10)-8，利润率=(利润)/成本×100%；列不等式：(15×(x/10)-8)/8≥25%→转化为方程求解临界值（因为"不低于"的最小值对应等式）；3探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.1探究1：单次打折问题（基础模型）解方程：15x/10-8=8×25%→1.5x=10→x≈6.67；01实际意义检验：折扣率x需≤10（不超过10折），且x≥0，因此x的最小值为7折（实际中折扣取一位小数或整数）。02设计意图：从学生熟悉的"单次打折"入手，强化"利润率"与"折扣率"的关系，明确"列方程需先找等量关系"的核心思路。033探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.2探究2：连续两次打折问题（二次项的产生）例题2：某品牌手机上市时标价4800元，首月按标价销售，月销量200台；第二个月为促销，先打9折，第三个月再打x折，若第三个月售价为3888元，求x的值。教学关键点：引导学生发现"两次打折"的数学关系：最终售价=标价×第一次折扣率×第二次折扣率；设第二次折扣率为x（注意：这里的x是10分之几，如打8折则x=0.8），则方程为4800×0.9×x=3888；解得x=3888/(4800×0.9)=0.9，即第二次打9折；追问："若题目改为'连续两次打相同折扣，最终售价为3888元'，方程该如何列？"此时引出二次方程：4800×x²=3888→x²=0.81→x=0.9（舍去负解），明确"相同折扣连续两次"会产生x²项，这是一元二次方程的典型特征。3探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.2探究2：连续两次打折问题（二次项的产生）学生活动：同桌讨论"两次不同折扣"与"两次相同折扣"的方程差异，派代表分享，教师总结：二次项的出现源于变量的平方关系（如相同折扣率的乘积）。3探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.3探究3：销量随折扣变化的综合问题（高阶模型）例题3：某超市销售一种成本为20元/千克的水果，原售价30元/千克，每天可售出200千克。经市场调查发现，售价每降低1元，每天销量增加20千克。若商家想通过降价促销，使每天利润达到2160元，应将售价定为多少元？教学突破：分析变量关系：设降价x元，则售价=(30-x)元，销量=(200+20x)千克；利润=（售价-成本）×销量→(30-x-20)(200+20x)=2160；化简方程：(10-x)(200+20x)=2160→2000+200x-200x-20x²=2160→-20x²+2000=2160→20x²=-160（此处故意出错，引发学生质疑）；3探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.3探究3：销量随折扣变化的综合问题（高阶模型）学生纠错：正确展开应为(10-x)(200+20x)=10×200+10×20x-x×200-x×20x=2000+200x-200x-20x²=2000-20x²，所以方程应为2000-20x²=2160→-20x²=160→x²=-8（显然无解）。这说明我的假设错误——题目中"售价每降低1元"，实际应为"售价每降低1元"，但利润可能随降价先增后减，当利润要求过高时可能无解；修正题目：若将利润改为1920元，则方程为2000-20x²=1920→20x²=80→x²=4→x=2（舍去负解），此时售价=30-2=28元；深度追问："若题目改为'售价每提高1元，销量减少20千克'，方程会如何变化？"引导学生理解"涨价"与"降价"的变量符号差异，强化"变量设定需符合实际情境"的意识。3探究新知：从单一到复杂的建模训练（25分钟）3.3探究3：销量随折扣变化的综合问题（高阶模型）设计意图：通过"纠错-修正"过程，培养学生严谨的计算习惯；通过"涨价vs降价"的对比，深化对变量关系的理解，体会二次方程在刻画"利润-价格"抛物线关系中的作用。4巩固练习：分层训练，螺旋提升（12分钟）4.1基础题（面向全体）某书店一本图书的成本是18元，标价30元。为迎接读书节，书店决定打x折销售，若要保证利润率为25%，求x的值。（答案：x=7.5）4巩固练习：分层训练，螺旋提升（12分钟）4.2提高题（面向中等生）某品牌运动鞋首次促销打9折，销量提升50%，总利润比原价销售增加20%。若成本价为200元，求原价。（提示：设原价为x元，原销量为a件，利用利润关系列方程：0.9x×1.5a-200×1.5a=1.2(xa-200a)，解得x=400元）4巩固练习：分层训练，螺旋提升（12分钟）4.3拓展题（面向学优生）某商场销售某种商品，成本为50元/件。当售价为80元/件时，每天可售出100件。调查发现，售价每降低1元，销量增加10件；售价每提高1元，销量减少5件。若商家希望每天利润不低于3000元，求售价的范围。（答案：通过建立两个二次不等式，解得售价在60元到100元之间）实施方式：学生独立完成基础题后，小组合作解决提高题，教师巡视指导；拓展题由学优生展示思路，全班讨论验证。5课堂小结：思维导图构建知识网络（5分钟）引导学生从"核心概念""建模步骤""注意事项"三方面总结，教师用思维导图板书：04打折销售问题打折销售问题├─核心概念：成本、标价、售价（=标价×折扣率）、利润（=售价-成本）、销量│1.审题：明确已知量、未知量、等量关系│2.设元：合理设定变量（如折扣率x、降价x元）│3.列方程：根据利润=（售价-成本）×销量或售价=标价×折扣率连乘│4.解方程：用因式分解法/公式法求解│5.检验：舍去不符合实际的解（如折扣率>1、销量为负）└─注意事项：├─区分"打折"与"降价"的表述（打折是比例，降价是绝对数）├─连续打折时是折扣率的乘积（非折扣数的和）├─建模步骤：打折销售问题└─销量变化与价格变化的关系需明确正负（涨价减销量，降价增销量）学生分享："我之前总把'打9折再打8折'算成1.7折，现在知道是0.9×0.8=0.72，也就是7.2折，数学真是帮我避开了消费陷阱！"通过学生的真实感悟，强化知识的生活价值。05课后作业：从巩固到实践的延伸1必做题（基础巩固）教材P21习题21.3第5题（某商品连续两次降价后的价格问题）；改编题：某服装店以120元/件的价格购进一批衬衫，标价200元/件。若先打9折销售100件，再打8折销售剩余50件，总成本为18000元，求总利润。2选做题（能力提升）调查本地超市或电商平台的促销活动（如"满300减50""第二件半价"），选择一种设计成数学问题，并用一元二次方程求解（若涉及复杂促销，可简化为"等价折扣率"进行计算）。3实践题（素养拓展）以"打折销售中的数学智慧"为主题，制作一张手抄报，要求包含：①一个真实促销案例；②数学建模过程；③你的消费建议。下节课进行展示评比。06教学反思与总结：数学建模的本质是"用数学说话"教学反思与总结：数学建模的本质是"用数学说话"回顾本节课的设计，我们始终围绕"从生活情境中抽象数学模型，用一元二次方程解决实际