2025 九年级数学上册一元二次方程根的情况分类讨论课件

一、课程定位与教学目标演讲人课程定位与教学目标01教学重难点分析02课堂小结与思想升华04课后作业与分层要求05教学过程设计（递进式展开）03教学反思（课后补充）06目录2025九年级数学上册一元二次方程根的情况分类讨论课件01课程定位与教学目标课程定位与教学目标作为九年级数学上册“一元二次方程”章节的核心内容之一，“根的情况分类讨论”是连接代数方程与函数图像的重要桥梁，也是培养学生逻辑推理与分类讨论能力的关键载体。结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节课的教学目标可从三方面设定：1知识与技能目标理解一元二次方程根的判别式（Δ=b²-4ac）的推导过程，明确其数学本质是“配方法”的延伸；掌握根据判别式符号判断根的三种情况（Δ>0时有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时无实数根）；能综合运用判别式解决含参数的一元二次方程根的存在性问题，初步形成“先定类型，再判根性”的解题逻辑。2过程与方法目标01通过从具体方程到一般形式的探究过程，体验“特殊→一般→特殊”的数学归纳法；在分析参数范围的讨论中，深化分类讨论思想的应用，提升逻辑严谨性；结合二次函数图像，建立“数（判别式）”与“形（抛物线与x轴交点）”的联系，发展数形结合能力。02033情感态度与价值观目标通过判别式的简洁性与普适性，感受数学符号语言的魅力；在解决“看似无解却有解”“参数范围需多条件限制”等问题中，培养严谨细致的学习态度；体会数学知识“环环相扣”的结构特点，增强探索数学规律的兴趣。02教学重难点分析1教学重点判别式的推导与三种根的情况的对应关系；含参数一元二次方程根的情况的分类讨论方法。2教学难点对“Δ=0时方程有两个相等实数根”的深层理解（区别于“一个实数根”的表述）；含参数问题中“二次项系数非零”与“判别式条件”的双重限制处理。03教学过程设计（递进式展开）1温故知新：从求根公式到判别式的诞生（通过学生已掌握的“公式法解一元二次方程”引入，唤醒认知基础）1温故知新：从求根公式到判别式的诞生活动1：回顾公式法步骤请学生独立完成解方程：2x²-4x-1=0，并复述公式法的一般步骤。1（预设学生回答：移项→二次项系数化为1→配方→开平方→求解）2活动2：一般化推导，发现关键量3以一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）为例，用配方法推导求根公式：4移项得：ax²+bx=-c；5二次项系数化为1：x²+(b/a)x=-c/a；6配方：x²+(b/a)x+(b/(2a))²=(b/(2a))²-c/a；7左边写成完全平方：(x+b/(2a))²=(b²-4ac)/(4a²)。81温故知新：从求根公式到判别式的诞生活动1：回顾公式法步骤此时提问：“方程有实数根的前提是什么？”引导学生观察右边分式的符号——由于左边是平方数（非负），右边必须非负才有实数解。因此，(b²-4ac)/(4a²)≥0。因a≠0，故4a²>0，因此等价于b²-4ac≥0。定义判别式：我们将Δ=b²-4ac称为一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式。其符号直接决定了方程是否有实数根及根的个数。2分类讨论：根的情况与判别式的对应关系（通过具体例子与图像辅助，建立“数”与“形”的联系）2分类讨论：根的情况与判别式的对应关系2.1三种情况的直观验证给出三组方程，要求学生计算判别式并求解，观察根的特点：1组1：x²-5x+6=0（Δ=25-24=1>0，根为x₁=2，x₂=3）；2组2：x²-4x+4=0（Δ=16-16=0，根为x₁=x₂=2）；3组3：x²-2x+3=0（Δ=4-12=-8<0，无实数根）。4归纳结论：5当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；6当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；7当Δ<0时，方程无实数根。82分类讨论：根的情况与判别式的对应关系2.2关键辨析：“两个相等实数根”的本质提问：“为什么Δ=0时不说‘有一个实数根’，而说‘两个相等的实数根’？”引导学生结合求根公式理解：当Δ=0时，根为x=(-b±0)/(2a)，即x₁=x₂=-b/(2a)，本质是两个根重合，因此保留“两个”的表述，体现根的个数与次数（二次方程）的一致性。2分类讨论：根的情况与判别式的对应关系2.3数形结合：二次函数视角的补充展示二次函数y=ax²+bx+c的图像，提问：“抛物线与x轴的交点个数和方程ax²+bx+c=0的根有何联系？”结合图像分析：当Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同交点（对应两个不等实根）；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个公共点（顶点在x轴上，对应两个相等实根）；当Δ<0时，抛物线与x轴无交点（对应无实根）。此环节强化“方程-函数-图像”的关联，深化理解。3应用提升：含参数方程的分类讨论（从基础应用到综合问题，逐步提升思维深度）3应用提升：含参数方程的分类讨论3.1基础应用：判断根的情况例1：判断下列方程根的情况：（1）3x²-2x+1=0；（2）-x²+4x-4=0；（3）2x²+5x=3（整理为2x²+5x-3=0）。解题步骤示范：以（1）为例：①确定a=3，b=-2，c=1；②计算Δ=(-2)²-4×3×1=4-12=-8；③结论：Δ<0，无实数根。3应用提升：含参数方程的分类讨论3.2综合应用：已知根的情况求参数范围例2：已知关于x的方程(k-2)x²+2kx+k+3=0有两个实数根，求k的取值范围。分析过程：（1）首先明确方程是“一元二次方程”，因此二次项系数k-2≠0，即k≠2；（2）其次，“有两个实数根”意味着Δ≥0；（3）计算Δ=(2k)²-4(k-2)(k+3)=4k²-4(k²+k-6)=4k²-4k²-4k+24=-4k+24；（4）由Δ≥0得-4k+24≥0，解得k≤6；3应用提升：含参数方程的分类讨论3.2综合应用：已知根的情况求参数范围（5）综合（1）（4），k的取值范围是k≤6且k≠2。易错点强调：学生易忽略“二次项系数非零”的条件，需通过追问“若k=2，方程变成什么？”（一次方程2×2x+2+3=0即4x+5=0，只有一个根），明确“两个实数根”的前提是方程为一元二次方程。3应用提升：含参数方程的分类讨论3.3拓展应用：实际问题中的根的存在性例3：某小区计划修建一个面积为150m²的矩形花园，已知花园的长比宽多5m，问能否修建这样的花园？解题思路：（1）设宽为x米，则长为(x+5)米，面积方程为x(x+5)=150，即x²+5x-150=0；（2）计算Δ=25+600=625>0，说明方程有两个实数根；（3）求根得x=(-5±25)/2，取正根x=10（舍去负根），因此可以修建（宽10米，长15米）。此环节让学生体会判别式在实际问题中的应用价值——先判断是否存在解，再求解，避免无效计算。4课堂反馈与巩固练习（分层设计，满足不同学习需求）基础题（面向全体）：方程x²+2x-3=0的判别式Δ=，根的情况是；若关于x的方程x²+kx+1=0无实数根，则k的取值范围是____。提升题（面向中等生）：已知关于x的一元二次方程mx²-(m+2)x+2=0（m≠0）。（1）求证：方程总有实数根；4课堂反馈与巩固练习（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值。拓展题（面向学优生）：已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A(x₁,0)、B(x₂,0)两点（x₁<x₂），与y轴交于点C，且Δ=4，OC=3（O为坐标原点），求该二次函数的解析式（答案不唯一，需讨论a的符号）。04课堂小结与思想升华1知识网络回顾通过板书或思维导图梳理本节课核心内容：判别式定义（Δ=b²-4ac）→三种根的情况（Δ>0、Δ=0、Δ<0）→含参数问题的处理（二次项系数非零+判别式条件）→实际问题应用（先判根再求解）。2数学思想提炼分类讨论思想：在含参数问题中，需分“是否为一元二次方程”“判别式符号”等情况讨论；数形结合思想：通过二次函数图像直观理解根的个数；转化思想：将“根的存在性问题”转化为“判别式符号问题”，体现“以数解形”的数学方法。0301023学习反思引导提问：“本节课你印象最深的结论是什么？哪些步骤容易出错？”（预设学生回答：“Δ=0时是两个相等的根”“参数问题中忘记二次项系数非零”等，教师针对性强调。）05课后作业与分层要求课后作业与分层要求必做题：教材P38习题21.2第5、7题（巩固判别式计算与根的情况判断）；选做题：已知关于x的方程(k²-1)x²+2(k-1)x+2=0，当k为何值时，方程有实数根？（综合考查分类讨论，需考虑k²-1=0和k²-1≠0两种情况）；实践题：调查生活中需要判断“是否存在解”的问题（如工程进度、资源分配），尝试用判别式分析其数学模型。06教学反思（课后补充）教学反思（课后补充）本节课以“从求根公式到判别式”的推导为主线，通过具体例子、图像辅助和分层练习，逐步突破重难点。学生在“Δ=0时根的表述”“参数问题中二次项系