2025 九年级数学上册一元二次方程商品定价问题课件

一、从生活现象到数学问题：理解商品定价的核心要素演讲人CONTENTS从生活现象到数学问题：理解商品定价的核心要素从模型构建到问题解决：一元二次方程的应用步骤情况一：降价场景从课堂练习到能力提升：突破常见误区与拓展应用总结与升华：数学建模思想的渗透与核心素养的培养目录2025九年级数学上册一元二次方程商品定价问题课件各位老师、同学们：今天，我们共同聚焦“一元二次方程商品定价问题”。作为九年级数学上册“一元二次方程的应用”章节的核心内容之一，这类问题不仅是中考的高频考点，更是数学与生活深度融合的典型案例。从超市货架上的促销标签到电商平台的价格波动，商品定价背后隐藏着严谨的数学逻辑——通过建立一元二次方程模型，我们可以量化分析“售价调整”与“利润变化”的关系，最终找到最优定价策略。接下来，我将结合多年教学实践，以“问题驱动-模型构建-应用拓展”为主线，带大家深入探究这一主题。01从生活现象到数学问题：理解商品定价的核心要素1生活场景引入：定价问题的普遍性清晨路过小区便利店，我注意到老板将进价2元的矿泉水从3元涨到3.5元，当天销量从100瓶降至80瓶；周末浏览电商平台，某款成本50元的卫衣标注“满100减20”，月销量从200件飙升至500件……这些看似普通的商业行为，本质上都是“定价调整对利润影响”的真实案例。对九年级学生而言，理解这类问题的关键，是从“生活现象”中提取“数学变量”，明确“利润”的构成要素。2利润公式的拆解：构建基础模型利润是商品定价问题的核心目标。通过小学和七年级的学习，我们已掌握基本利润公式：总利润=单件利润×销售数量其中，单件利润=售价-成本价（注意：若涉及降价促销，“售价”可能低于“标价”，需结合题目条件判断）；销售数量则通常与售价调整呈线性关系——例如“每涨价1元，销量减少a件”或“每降价1元，销量增加b件”。以一个经典问题为例：某商品成本价为40元/件，原售价60元/件时，日销量为100件。若售价每上涨1元，日销量减少5件。设售价上涨x元，如何表示总利润？我们可以分步拆解：单件利润：原售价60元，上涨x元后，新售价为(60+x)元，单件利润为(60+x-40)=(20+x)元；2利润公式的拆解：构建基础模型销售数量：原销量100件，每涨1元减少5件，上涨x元后销量为(100-5x)件；总利润y：y=(20+x)(100-5x)，展开后为y=-5x²+0x+2000（即y=-5x²+2000）。这一过程中，“x”是售价调整的变量，“y”是总利润的函数，最终需通过解一元二次方程（或求顶点）找到y的最大值及对应的x值。3常见变量设定误区：从“涨价/降价”到“新售价”教学中发现，学生常因变量设定不清晰导致错误。例如，题目要求“求定价为多少时利润最大”，部分学生可能直接设“定价为x元”，而另一些学生设“涨价x元”。两种设定均可行，但需注意对应关系：若设“定价为x元”，则涨价幅度为(x-原售价)元，销量为“原销量-减少量×(x-原售价)”；若设“涨价x元”，则定价为(原售价+x)元，销量为“原销量-减少量×x”。关键提醒：变量设定需与题目所求直接关联，同时确保销量表达式中的“减少量”或“增加量”与x的单位一致（如“每涨1元减少5件”对应x的单位为“元”，则减少量为5x件）。02从模型构建到问题解决：一元二次方程的应用步骤1解题流程的标准化：“五步分析法”结合课程标准与中考要求，解决商品定价问题可总结为以下步骤：1解题流程的标准化：“五步分析法”1.1明确已知条件与所求目标阅读题目时，需用下划线或列表标注关键信息：成本价、原售价、原销量、价格调整与销量变化的关系（如“每涨1元减5件”“每降0.5元增10件”）、所求目标（最大利润对应的定价，或特定利润下的定价）。2.1.2设定变量，表示相关量根据题目所求，选择合适的变量（如“涨价x元”“定价为x元”），并依次表示：新售价=原售价±x（“+”对应涨价，“-”对应降价）；单件利润=新售价-成本价；销量=原销量∓变化量×x（“-”对应涨价时销量减少，“+”对应降价时销量增加）。1解题流程的标准化：“五步分析法”1.3建立一元二次方程（或函数）模型根据“总利润=单件利润×销量”，列出y关于x的二次函数表达式（y=ax²+bx+c）。若题目要求“利润为某定值时的定价”，则令y=定值，得到一元二次方程；若求“最大利润”，则需通过顶点公式（x=-b/(2a)）或配方法找到最大值。1解题流程的标准化：“五步分析法”1.4解方程并检验合理性解一元二次方程时，需注意：若方程无实数根，说明不存在满足条件的定价；若有实数根，需结合实际意义检验——例如销量不能为负数（如100-5x≥0，则x≤20），售价需高于成本价（避免亏本销售）。1解题流程的标准化：“五步分析法”1.5结论表述根据检验后的结果，明确回答题目所求（如“当定价为70元时，利润最大为2250元”）。2典型例题解析：从单一调整到复合场景为帮助学生熟练应用“五步分析法”，我将通过两类例题展开讲解。2典型例题解析：从单一调整到复合场景2.1例题1：单一涨价场景（基础型）题目：某文具店销售一种笔记本，成本价为8元/本，原售价12元/本时，日销量为100本。经市场调查，若售价每上涨1元，日销量减少10本。问：售价定为多少元时，日利润最大？最大利润是多少？解析步骤：已知条件：成本价8元，原售价12元，原销量100本，涨价1元→销量减10本；所求：最大利润及对应定价。设涨价x元（x≥0），则新售价为(12+x)元，单件利润为(12+x-8)=(4+x)元；销量为(100-10x)本（需满足100-10x≥0→x≤10）。总利润y=(4+x)(100-10x)=-10x²+60x+400。2典型例题解析：从单一调整到复合场景2.1例题1：单一涨价场景（基础型）该二次函数开口向下，顶点处取得最大值。顶点横坐标x=-b/(2a)=-60/(2×(-10))=3。此时x=3在x≤10范围内，有效。最大利润y=-10×3²+60×3+400=-90+180+400=490元；新售价=12+3=15元。结论：售价定为15元时，日利润最大为490元。2典型例题解析：从单一调整到复合场景2.2例题2：降价与涨价的综合场景（提升型）题目：某品牌手机成本价为2000元/部，原售价3000元/部时，月销量为500部。为促销，商家计划调整价格：若降价，每降100元，月销量增加100部；若涨价，每涨100元，月销量减少50部。问：如何定价可使月利润最大？解析步骤：已知条件：成本价2000元，原售价3000元，原销量500部；降价时，降100元→销量增100部；涨价时，涨100元→销量减50部；所求：最大利润的定价。需分两种情况讨论（降价和涨价），分别建立模型后比较最大值。03情况一：降价场景情况一：降价场景设降价100x元（x≥0，且3000-100x≥2000→x≤10），则新售价=(3000-100x)元，单件利润=(3000-100x-2000)=(1000-100x)元；销量=(500+100x)部。总利润y₁=(1000-100x)(500+100x)=-10000x²+50000x+500000。开口向下，顶点x=-b/(2a)=-50000/(2×(-10000))=2.5。此时x=2.5≤10，有效。y₁最大值=-10000×(2.5)²+50000×2.5+500000=-62500+125000+500000=562500元；新售价=3000-100×2.5=2750元。情况一：降价场景情况二：涨价场景设涨价100x元（x≥0，且销量500-50x≥0→x≤10），则新售价=(3000+100x)元，单件利润=(3000+100x-2000)=(1000+100x)元；销量=(500-50x)部。总利润y₂=(1000+100x)(500-50x)=-5000x²+0x+500000。开口向下，顶点x=-b/(2a)=0，即x=0时y₂=500000元（原售价时的利润）。比较两种情况：y₁最大值562500元＞y₂最大值500000元，因此最优策略是降价250元，定价2750元，月利润最大为562500元。情况一：降价场景教学反思：此类综合题需引导学生注意“分情况讨论”的必要性，避免遗漏可能的最优解。同时，变量设定中“100x元”的处理，可简化计算（若直接设x为元，则系数可能过大，易出错）。04从课堂练习到能力提升：突破常见误区与拓展应用1学生常见错误分析与对策通过多年教学观察，学生在解决商品定价问题时易犯以下错误，需重点强调：1学生常见错误分析与对策1.1变量设定与实际意义脱节错误示例：题目要求“定价为x元”，学生误设“涨价x元”，导致后续销量表达式错误（如原售价60元，设x为定价，则涨价应为x-60元，销量应为原销量-减少量×(x-60)）。对策：在变量设定后，用具体数值代入验证。例如，若x=60（原售价），则涨价0元，销量应为原销量，以此检验表达式是否合理。1学生常见错误分析与对策1.2忽略销量的非负性限制错误示例：解方程得到x=25，但原销量为100件，每涨1元减5件，此时销量=100-5×25=-25件（无实际意义）。对策：在建立方程后，先写出变量的取值范围（如x≤20），再求解，确保解在范围内。1学生常见错误分析与对策1.3混淆“利润最大”与“销量最大”错误示例：认为销量最大时利润最大，但实际利润还与单件利润相关（如降价过多可能导致单件利润过低，总利润反而下降）。对策：通过具体数据对比说明——例如，某商品降价10元时销量翻倍，但单件利润减半，总利润可能不变甚至降低，强调“利润是单件利润与销量的乘积”。2拓展应用：与其他知识点的融合商品定价问题可与二次函数的图像性质、不等式（如利润不低于某值时的定价范围）结合，进一步提升学生的综合应用能力。2拓展应用：与其他知识点的融合2.1结合二次函数图像分析利润变化趋势以例题1的y=-10x²+60x+400为例，其图像是开口向下的抛物线，顶点为(3,490)。通过观察图像可知：1当x＜3时，y随x增大而增大（涨价在3元以内，利润上升）；2当x＞3时，y随x增大而减小（涨价超过3元，利润下降）；3当y=400时（原利润），x=0或x=6，即涨价0元（原售价）或涨价6元时利润与原利润相同。42拓展应用：与其他知识点的融合2.2不等式应用：利润不低于某值的定价范围题目：在例题1中，若要求日利润不低于450元，求售价的范围。解析：令y=-10x²+60x+400≥450，即-10x²+60x-50≥0→x²-6x+5≤0→(x-1)(x-5)≤0→1≤x≤5。结合x≤10的限制，x∈[1,5]。因此，售价范围为12+1=13元到12+5=17元。教学价值：此类问题将一元二次方程与不等式结合，帮助学生理解“方程是不等式的特殊情况”，深化对数学工具关联性的认识。05总结与升华：数学建模思想的渗透与核心素养的培养1知识体系的梳理通过本节学习，我们掌握了“商品定价问题”的核心解决路径：从生活场景中提取变量→建立“总利润=单件利润×销量”的数学模型→转化为一元二次方程（或函数）→求解并检验实际意义。这一过程本质是“数学建模”的典型应用，体现了“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的核心素养。2思维能力的提升商品定价问题不仅要求学生熟练运算，更需要：抽象能力：从“涨价1元减5件”等具体描述中抽象出“销量=原销量-5x”的线性关系；逻辑推理能力：通过分情况讨论（如涨价与降价），严谨分析不同策略下的利润变化；应用意识：认识到数学模型的局限性（如假设销量与价格线性相关，实际可能存在非线性关系），培养“用数学解决实际问题”的批判性思维。3情感与价值观的引导作为教师，我常对学生说：“数学不是纸上的数字游戏，而是打开现实世界的钥匙。”当你们用一元二次方程算出超市促销的最优定价，用数学模型解释商家的“满减”策略时，便是在践行“学有用的数学”。希望同学们保持对生活的观察，用数学的视角发现问题，用数学的方法解决问题，让数学真正成为你们认识世界、改变世界的工具。课后作业（分层设计）：基础题：某商品成本价50元，原售价80元时销量200件，每涨价1元销量减10件。求利润最大时的定价（答案：95元，利润4500元）。提升题：某服装成本100元，原售价200元时月销3