2025 九年级数学上册圆的公切线类型与画法课件

一、公切线的定义与基本性质演讲人目录01.公切线的定义与基本性质02.两圆位置关系与公切线类型的对应分析03.公切线的精准画法：从理论到实践04.公切线学习中的常见误区与突破策略05.公切线的实际应用与几何价值06.总结与课后任务2025九年级数学上册圆的公切线类型与画法课件各位同学，今天我们要共同探索圆的公切线这一重要几何概念。从生活中自行车的链条与齿轮的接触，到机械设计中皮带轮的传动，公切线的身影无处不在。它既是圆与圆位置关系的直观体现，也是解决几何综合问题的关键工具。接下来，我们将从定义出发，逐步剖析公切线的类型、画法及其背后的数学原理。01公切线的定义与基本性质1从切线到公切线的逻辑延伸在之前的学习中，我们已经掌握了圆的切线的定义：与圆有且只有一个公共点的直线，且该直线垂直于过切点的半径。那么，当我们将视野扩展到两个圆时，是否存在一条直线能同时与两个圆相切？这就是今天的主角——公切线。公切线的严格定义：同时与两个圆相切的直线，称为这两个圆的公切线。公切线上与每个圆的公共点，分别称为该圆的切点。2公切线的核心性质公切线的性质可由单圆切线的性质直接推导得出：垂直性：公切线在切点处分别垂直于两个圆的半径（即若直线l是⊙O₁和⊙O₂的公切线，切点分别为A、B，则O₁A⊥l，O₂B⊥l）；距离关系：两圆圆心到公切线的距离分别等于各自的半径；对称性：若两圆关于某条直线对称，则其公切线也关于该直线对称（这一性质在后续画公切线时可辅助验证作图正确性）。02两圆位置关系与公切线类型的对应分析两圆位置关系与公切线类型的对应分析公切线的数量和类型与两圆的位置关系密切相关。我们已学过两圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），接下来逐一分析每种位置下公切线的特征。2.1外离：四条公切线（两条外公切线，两条内公切线）当两圆的圆心距d>r₁+r₂（r₁、r₂为两圆半径，r₁≥r₂）时，两圆完全分离。此时存在两类公切线：外公切线：公切线位于两圆外侧，两条外公切线的切点连线不穿过两圆连心线之间的区域（直观上可理解为“从两圆顶部或底部绕过”）；内公切线：公切线穿过两圆连心线之间的区域，两条内公切线的切点连线在连心线附近相交（类似“从两圆中间穿过”）。两圆位置关系与公切线类型的对应分析2.2外切：三条公切线（两条外公切线，一条内公切线）当d=r₁+r₂时，两圆有且仅有一个公共点（外切点）。此时内公切线退化为过该公共点的一条直线（因为两圆在该点相切，内公切线与两圆的切点重合），而外公切线仍为两条。3相交：两条公切线（仅外公切线）当|r₁-r₂|<d<r₁+r₂时，两圆有两个公共点。此时内公切线不存在（若存在内公切线，需穿过两圆之间，但两圆已相交，直线无法同时仅切于两圆而不穿过内部），仅剩余两条外公切线。4内切：一条公切线（仅外公切线）当d=|r₁-r₂|时，两圆有且仅有一个公共点（内切点）。此时外公切线退化为过该公共点的一条直线（与内切点处的公切线重合），内公切线不存在。5内含：无公切线当d<|r₁-r₂|时，一个圆完全包含于另一个圆内部（无公共点）。此时不存在任何公切线（直线若与小圆相切，必然与大圆相交；若与大圆相切，则无法触及小圆）。总结位置关系与公切线数量：外离（4条）→外切（3条）→相交（2条）→内切（1条）→内含（0条），公切线数量随两圆从分离到包含逐步减少。03公切线的精准画法：从理论到实践公切线的精准画法：从理论到实践掌握公切线的画法是本节课的核心目标。无论是解决几何证明题，还是绘制机械图纸，精准作图都是关键。我们将以外离两圆为例，重点讲解外公切线与内公切线的尺规作图步骤，并分析其数学原理。3.1外公切线的画法（以⊙O₁半径r₁，⊙O₂半径r₂，r₁>r₂，外离为例）1.1理论依据根据公切线的垂直性，设外公切线为l，切点分别为A、B，则O₁A⊥l，O₂B⊥l，因此O₁A∥O₂B（垂直于同一直线的两直线平行）。由此可构造平行四边形O₁ABO₂的“压缩版”——过O₂作O₂C∥AB，交O₁A于C，则O₂C=AB（公切线长度），O₁C=r₁-r₂（因为O₁A=r₁，O₂B=r₂，且O₁A∥O₂B，故AC=O₂B=r₂，O₁C=O₁A-AC=r₁-r₂）。因此，问题转化为：在⊙O₁中找到点C，使得O₁C=r₁-r₂，且O₂C为⊙O₁（半径r₁-r₂）的切线。1.2具体步骤连接两圆圆心O₁O₂，量取圆心距d=O₁O₂；以O₁为圆心，r₁-r₂为半径作辅助圆（记为⊙O₁'）；过O₂作⊙O₁'的切线，切点为C（作切线的方法：连接O₁O₂，作O₁O₂的中垂线确定圆心，以O₁O₂为直径作圆，与⊙O₁'的交点即为切点C）；延长O₁C交⊙O₁于A（因为O₁C=r₁-r₂，故延长后O₁A=r₁）；过O₂作O₂B∥O₁A（因O₁A⊥l，O₂B⊥l，故O₂B∥O₁A），交⊙O₂于B；直线AB即为所求外公切线（同理可作另一条外公切线）。验证：通过测量AB是否与两圆仅一个公共点，或检查O₁A、O₂B是否均垂直于AB，可确认作图正确性。2.1理论依据内公切线的切点A、B满足O₁A⊥l，O₂B⊥l，因此O₁A∥O₂B（方向相反，因为内公切线穿过两圆之间）。此时，过O₂作O₂C∥AB，交O₁A的延长线于C，则O₁C=r₁+r₂（O₁A=r₁，O₂B=r₂，且O₁A与O₂B反向平行，故O₁C=O₁A+AC=r₁+r₂，其中AC=O₂B=r₂）。因此，辅助圆的半径应为r₁+r₂。2.2具体步骤连接O₁O₂，量取d；以O₁为圆心，r₁+r₂为半径作辅助圆（⊙O₁''）；过O₂作⊙O₁''的切线，切点为C；连接O₁C，与⊙O₁交于A（此时O₁A=r₁，因O₁C=r₁+r₂，故C在O₁A的延长线上，AC=r₂）；过O₂作O₂B∥O₁A（方向与外公切线相反，即O₂B与O₁A反向平行），交⊙O₂于B；直线AB即为内公切线（同理作另一条）。对比与总结：外公切线与内公切线的画法核心区别在于辅助圆的半径（r₁-r₂vs.r₁+r₂），这是由两圆半径的“差”与“和”对应外、内公切线的位置关系决定的。2.2具体步骤3特殊位置下的公切线画法（以两圆外切为例）当两圆外切时，内公切线退化为过切点的直线。此时，只需找到两圆的外切点T（位于O₁O₂连线上），过T作O₁O₂的垂线，即为唯一的内公切线；外公切线的画法与外离时相同，但由于d=r₁+r₂，辅助圆（半径r₁-r₂）的圆心距O₁O₂恰好等于辅助圆半径与O₂到辅助圆的切线长，作图会更简洁。04公切线学习中的常见误区与突破策略公切线学习中的常见误区与突破策略在教学实践中，学生绘制公切线时常出现以下问题，需重点关注：1误区一：混淆外公切线与内公切线的辅助圆半径表现：画外公切线时误用r₁+r₂作辅助圆，或画内公切线时误用r₁-r₂。原因：未理解辅助圆的构造原理（外公切线对应半径差，内公切线对应半径和）。突破：结合图形动态演示，用具体数值举例（如r₁=5，r₂=3，d=10），计算辅助圆半径（外公切线辅助圆半径=2，内公切线=8），观察辅助圆与O₂的位置关系（外离时O₂到辅助圆圆心距离d=10，大于辅助圆半径，故存在两条切线）。2误区二：公切线方向错误（如内公切线画成外公切线）STEP1STEP2STEP3表现：内公切线的切点连线未穿过两圆之间，或外公切线的切点连线错误地穿过连心线。原因：对“外”“内”的定义理解模糊（“外”指公切线位于两圆外侧，不穿过连心线区域；“内”指穿过连心线区域）。突破：用生活实例类比（如两齿轮外啮合时皮带为外公切线，内啮合时为内公切线），或通过几何软件动态展示公切线随两圆位置变化的移动轨迹。3误区三：遗漏公切线数量（如相交两圆误画内公切线）表现：在两圆相交时尝试绘制内公切线，导致直线与圆相交而非相切。原因：未将公切线数量与两圆位置关系严格对应。突破：制作表格对比位置关系与公切线数量（外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含0条），通过画图验证（如相交两圆画内公切线时，直线必然与其中一圆相交）。05公切线的实际应用与几何价值1生活中的公切线：机械传动与设计皮带轮传动：机械中两个皮带轮的皮带安装位置，本质是两圆的外公切线（平皮带）或内公切线（交叉皮带）；齿轮啮合：外啮合齿轮的齿顶圆公切线决定了传动的平稳性，内啮合齿轮则依赖内公切线设计。2几何问题中的公切线：解题的“桥梁”在几何综合题中，公切线常作为辅助线，连接两圆的位置关系与角度、线段长度的计算。例如：已知⊙O₁与⊙O₂外离，外公切线AB的切点为A、B，求证：O₁O₂²=AB²+(r₁-r₂)²。分析：由公切线性质，O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，故作O₂C⊥O₁A于C，则AB=O₂C，O₁C=r₁-r₂，在Rt△O₁O₂C中，O₁O₂²=O₂C²+O₁C²=AB²+(r₁-r₂)²，得证。06总结与课后任务1核心知识回顾公切线定义：同时切于两圆的直线，分外公切线与内公切线；01数量规律：外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含0条；02画法关键：外公切线用半径差作辅助圆，内公切线用半径和作辅助圆；03应用价值：连接几何理论与实际设计，是解决综合问题的重要工具。042课后任务绘制两组外离圆（一组r₁>r₂，一组r₁=r₂），分别作出外公切线与内公切线；0102