2025 九年级数学上册圆的切线长计算问题课件

一、知识铺垫：从切线到切线长的概念递进演讲人CONTENTS知识铺垫：从切线到切线长的概念递进核心探究：切线长定理的推导与公式建立典型例题：从基础到综合的阶梯式训练练习巩固：分层训练与易错点突破课堂小结：知识体系的梳理与思想方法的提炼目录2025九年级数学上册圆的切线长计算问题课件各位同学，今天我们将共同开启圆的知识模块中一个重要的分支——切线长计算问题的学习。作为九年级上册“圆”章节的核心内容之一，切线长计算不仅是对前期切线判定与性质的深化应用，更是后续解决圆与三角形、四边形综合问题的关键工具。在正式学习前，我想先问大家一个问题：当我们用圆规画圆时，若从圆外一点向圆作两条切线，这两条切线的长度会有什么关系？为什么？带着这个疑问，我们逐步展开今天的学习。01知识铺垫：从切线到切线长的概念递进1温故知新：切线的定义与性质回顾在学习切线长之前，我们需要先回顾与切线相关的基础概念，这是理解切线长的前提。切线的定义：直线与圆有且只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，公共点称为切点。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（“连半径，证垂直”是常用判定方法）。切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（“切必垂径”是核心性质）。这些知识是我们今天学习的“地基”。例如，当题目中出现“某直线是圆的切线”时，我们可以立即联想到“该直线与过切点的半径垂直”，这将为后续构造直角三角形、应用勾股定理奠定基础。2切线长的定义：从“线”到“量”的转化在实际问题中，我们不仅需要判断直线是否为切线，还需要计算从圆外一点到切点的距离，这就引出了“切线长”的概念。切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长。这里需要特别注意“切线”与“切线长”的区别：切线是直线，没有长度；切线长是线段的长度，是一个具体的数值。举个例子，若圆外一点P到圆O的两条切线分别切圆于A、B两点，则PA和PB是两条切线，而PA的长度、PB的长度就是切线长。02核心探究：切线长定理的推导与公式建立1切线长定理的发现与证明通过观察和测量，我们可以发现一个重要现象：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一结论是否具有普遍性？我们需要通过严格的几何证明来验证。已知：点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B（如图1所示）。求证：PA=PB。证明过程：连接OA、OB、OP（辅助线是几何证明的关键，这里连接圆心与切点、圆心与圆外点，构造两个直角三角形）；∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质定理：切线垂直于过切点的半径）；在Rt△OAP和Rt△OBP中，1切线长定理的发现与证明OA=OB（同圆半径相等），OP=OP（公共边），∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL判定定理）；∴PA=PB（全等三角形对应边相等）。由此，我们得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。定理的后半部分“圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角”也可通过上述全等三角形证明：∠APO=∠BPO（全等三角形对应角相等）。2切线长计算公式的推导在实际计算中，我们需要用具体的数值表示切线长。结合切线长定理和勾股定理，我们可以推导出切线长的计算公式。设⊙O的半径为r，圆外一点P到圆心O的距离为d（即OP=d），PA为点P到⊙O的切线长（PA=l）。在Rt△OAP中，OA=r，OP=d，∠OAP=90，根据勾股定理：OA²+PA²=OP²，即r²+l²=d²，解得：l=√(d²-r²)。这就是切线长的计算公式。它揭示了切线长l、圆半径r、点到圆心距离d三者之间的数量关系，是解决切线长计算问题的核心工具。3公式的深层理解与应用条件公式的几何意义：切线长是圆外点到圆心的距离、圆半径所构成的直角三角形的一条直角边，另一条直角边是半径，斜边是点到圆心的距离。01应用条件：点必须在圆外（若点在圆上，切线长为0；点在圆内则无切线）。02变形应用：已知任意两个量可求第三个量，例如已知l和r，可求d=√(l²+r²)；已知d和l，可求r=√(d²-l²)。03我在教学中发现，部分同学容易忽略“点在圆外”这一前提条件，或在应用勾股定理时混淆直角边与斜边，因此需要特别强调公式的适用场景和各量的对应关系。0403典型例题：从基础到综合的阶梯式训练1基础题：直接应用公式计算切线长例1：已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为5cm，过点P作⊙O的切线，求切线长。分析：题目直接给出r=3cm，d=5cm，可直接代入公式l=√(d²-r²)计算。解答：l=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4cm。答：切线长为4cm。总结：基础题的关键是明确各量对应的含义，直接代入公式即可。2变式题：已知切线长求点到圆心的距离例2：⊙O的半径为5，点P到⊙O的切线长为12，求点P到圆心O的距离。分析：已知r=5，l=12，求d，需用公式变形d=√(l²+r²)。解答：d=√(12²+5²)=√(144+25)=√169=13。答：点P到圆心O的距离为13。易错点提醒：部分同学可能误将切线长作为斜边计算，需明确在Rt△OAP中，OP是斜边，因此d>r且d>l（当r≠l时）。3综合题：切线长定理与几何图形的结合例3：如图2，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB=60，PA=6cm，求⊙O的半径和OP的长。分析：由切线长定理可知PA=PB=6cm，且OP平分∠APB，故∠APO=30；在Rt△OAP中，∠APO=30，PA=6cm，可利用三角函数或勾股定理求OA（半径r）和OP（d）。解答：方法一（三角函数）：在Rt△OAP中，cos∠APO=PA/OP，3综合题：切线长定理与几何图形的结合即cos30=6/OP，∴OP=6/(√3/2)=4√3cm；又sin∠APO=OA/OP，即sin30=r/(4√3)，∴r=4√3×1/2=2√3cm。方法二（勾股定理）：设OA=r，OP=d，由勾股定理得r²+6²=d²；又由∠APB=60，OP平分∠APB，故∠APO=30，3综合题：切线长定理与几何图形的结合在Rt△OAP中，30角所对的直角边OA=r=d/2（直角三角形中30角对边是斜边的一半），即d=2r，代入勾股定理得：r²+36=(2r)²⇒3r²=36⇒r²=12⇒r=2√3cm，则d=2r=4√3cm。总结：综合题需要结合切线长定理、直角三角形性质（如30角对边关系、三角函数）等知识，关键是通过画图明确各量之间的几何关系。04练习巩固：分层训练与易错点突破1基础巩固题（难度★☆☆）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，且OP=5，求点P到⊙O的切线长。点Q到⊙O的切线长为8，⊙O的半径为6，求OQ的长。2能力提升题（难度★★☆）如图3，PA、PB切⊙O于A、B，C是⊙O上一点，∠ACB=50，求∠APB的度数。（提示：连接OA、OB，利用圆周角定理和切线长定理）3拓展应用题（难度★★★）如图4，等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，以BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线，求切线长。（提示：先求圆心O到点A的距离，再用切线长公式）4易错点总结混淆切线与切线长：切线是直线，不可度量；切线长是线段长度，可计算。1忽略点与圆的位置关系：只有点在圆外时，切线长才为正数；点在圆上时切线长为0；点在圆内无切线。2勾股定理应用错误：在Rt△OAP中，OP是斜边，PA和OA是直角边，避免将PA或OA误作斜边。305课堂小结：知识体系的梳理与思想方法的提炼1核心知识回顾切线长定义：圆外一点到切点的线段长度。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点的连线平分两切线夹角。计算公式：l=√(d²-r²)（l为切线长，d为点到圆心距离，r为半径）。0102032思想方法总结几何建模思想：将实际问题转化为圆、切线、直角三角形的几何模型。转化与化归思想：通过连接半径、构造直角三角形，将切线长问题转化为勾股定理的应用。数形结合思想：利用图形直观理解切线长与各量的关系，通过代数计算验证几何结论。3学习寄语同学们，切线长计算问题是圆章节中“数”与“形”完美结合的典范。它不仅需要我们掌握定理和公式，更需要我们在解题中培养“观察图形→提取信息→建