2025~2026学年济南天桥区泺口实验学校九年级上学期12月份数学考试试卷以及答案

九年级上学期12月数学测试（满分150分时间120分钟）一、单选题。（每小题4分，共150分）1.如图所示几何体的俯视图是（）2.下列三角函数中，值为12A.cos30∘B.tan30∘C.sin45∘D.cos60∘3.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80∘，∠D′=55∘，则∠C的度数为（）A.125∘B.135∘C.115∘D.120∘4.如图，点P在反比例函数y=kxA.2B.4C.8D.165.如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图，行李箱的正面可看成一个矩形，若AC=70cm，则下列说法正确的是（）A.BD<70cmB.BD=70cmC.BD>70cmD.无法确定BD的长6.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A.49B.−49C.947.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献。某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（）A.12B.13C.148.关于抛物线y=−2(x−1)2+3，下列说法正确的是（）A.对称轴是直线x=1B.与y轴交于点(0,3)C.开口向上D.x>1时，y随x增大而增大9.定义运算“※”为：a※b=ab（b＞0A.B.C.D.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③4ac−b2>0；④9a+3b+c>0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；⑥8a+c<0。其中正确的是（）A.①②③⑤B.①③④⑥C.①⑤⑥D.①④⑤⑥11.计算−1+tan60∘+2sin45∘−2cos30∘+π0结果是（）A.2B.2C.1D.312.方程(x+3)2=4的根是（）A.x1=−1，x2=−5B.x1=1，x2=−5C.x1=x2=−1D.x1=−1，x2=513.x=﹣3A.2x2+3x+1=0B.2x2−3x+1=0C.2x2+3x−1=0D.2x2−3x−1=014.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为（）A.x=32B.x=−1C.x1=−1，x2=23D.x1=−1，x215.镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋，为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程为（）A.16(1+2x)=25B.16(1+x2)=25C.25(1−x)2=16D.16(1−x)2=25二、填空题。（每小题4分，共32分）16.已知xy=52，则x﹣17.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为______。18.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上。若∠ABC=60∘，则∠D的度数为______。19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若OA=1，则点G的坐标为______。20.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F，G分别是BC，AE的中点，延长GF，DE交于点H。若AD=12，FG=3，DE=2HE，则AB的长为______。21.在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有______个球。22.随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则两人选择AI软件相同的概率为______。23.如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用100m的围栏围成总面积为400m²的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB=______m。三、解答题24.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。25.（8分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB，BO，AO构成一个三角形。如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm时（即OB=7cm），窗户打开的∠AOB的度数为37∘，过点A作AD⊥OF，垂足为点D。(1)求此时AD的长；(2)求此时sin∠BAO的值。（参考数据：tan37∘=0.75）26.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90∘，连接PC。(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若AO=3，OP=5，求AC的长。27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=mx(1)直接写出m的值：，n的值：；(2)写出不等式ax+b>mx的解集为：(3)①求一次函数y=ax+b的解析式；②请判断点D是否在反比例函数y=mx(4)记一次函数y=kx−2k+2(k≠0)的图象为l，若l与反比例函数y=mx的图象没有公共点，直接写出k的取值范围：28.（12分）已知二次函数的图像经过点A(−1,0)，B(3,0)和C(0,−3)，点P是抛物线上的一个动点，且在直线BC的下方。(1)求该二次函数的解析式。(2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由。(3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。29.（12分）某数学小组的同学在学习了反比例图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究。【特例探究】：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边AB上的高。(1)求证：AC2=AD⋅AB；【类比研究】：(2)如图2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE=∠AFC。请判断△AEB的形状，并说明理由；【拓展应用】：(3)如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘，AC=23，BC=8，平面内有一点D满足AD=AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB=∠CBD，请直接写出线段BE的最小值。答案一、单选题。（每小题4分，共150分）1.如图所示几何体的俯视图是（A）2.下列三角函数中，值为12A.cos30∘B.tan30∘C.sin45∘D.cos60∘3.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80∘，∠D′=55∘，则∠C的度数为（B）A.125∘B.135∘C.115∘D.120∘4.如图，点P在反比例函数y=kxA.2B.4C.8D.165.如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图，行李箱的正面可看成一个矩形，若AC=70cm，则下列说法正确的是（B）A.BD<70cmB.BD=70cmC.BD>70cmD.无法确定BD的长6.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（C）A.49B.−49C.947.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献。某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（D）A.12B.13C.148.关于抛物线y=−2(x−1)2+3，下列说法正确的是（A）A.对称轴是直线x=1B.与y轴交于点(0,3)C.开口向上D.x>1时，y随x增大而增大9.定义运算“※”为：a※b=ab（b＞0A.B.C.D.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③4ac−b2>0；④9a+3b+c>0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；⑥8a+c<0。其中正确的是（C）A.①②③⑤B.①③④⑥C.①⑤⑥D.①④⑤⑥11.计算−1+tan60∘+2sin45∘−2cos30∘+π0结果是（C）A.2B.2C.1D.312.方程(x+3)2=4的根是（A）A.x1=−1，x2=−5B.x1=1，x2=−5C.x1=x2=−1D.x1=−1，x2=513.x=﹣3A.2x2+3x+1=0B.2x2−3x+1=0C.2x2+3x−1=0D.2x2−3x−1=014.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为（C）A.x=32B.x=−1C.x1=−1，x2=23D.x1=−1，x215.镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋，为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程为（C）A.16(1+2x)=25B.16(1+x2)=25C.25(1−x)2=16D.16(1−x)2=25二、填空题。（每小题4分，共32分）16.已知xy=52，则x﹣yy17.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为___4518.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上。若∠ABC=60∘，则∠D的度数为___30°___。19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若OA=1，则点G的坐标为___（3，9）___。20.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F，G分别是BC，AE的中点，延长GF，DE交于点H。若AD=12，FG=3，DE=2HE，则AB的长为___8___。21.在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有___25___个球。22.随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则两人选择AI软件相同的概率为___1423.如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用100m的围栏围成总面积为400m²的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB=___8___m。三、解答题24.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。证明：∵在菱形ABCD中∴AB=AD∠B=∠D在△ABE和△AFD中∠B=∠D∠AEB=∠AFD∴△ABE≌△AFD∴BE=DF25.（8分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB，BO，AO构成一个三角形。如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm时（即OB=7cm），窗户打开的∠AOB的度数为37∘，过点A作AD⊥OF，垂足为点D。(1)求此时AD的长；(2)求此时sin∠BAO的值。（参考数据：tan37∘=0.75）（1）∵tan37∘=0.75∴sin37°=3在△AOD中，∠AOD=37°，OA=20cm∴AD=OA·sin37°=20×35（2）由（1）知OA=20,AD=12∴OB=202∵OB=7∴BD=12﹣7=95∴AB=122过点B作BM⊥OA∴BM=7×12∴sin∠BAO=2151326.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90∘，连接PC。(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若AO=3，OP=5，求AC的长。(1）证明：如图，连接OC∵OC=OA∴∠OAC=∠OCA.∵OP//AC∴∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP∴∠COP=∠BOP在△COP和△BOP中，OC=OB∴△COP≌△BOP(SAS)∴∠OCP=∠OBP=90°∴OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，PC与⊙O相切．(2）如图，连接BC交OP于点D.由（1）知△COP≌△BOP∴PC=PB,OB=OC∴OP垂直平分BC.∵BO=AO=3,OP=5,∠OBP=90°∴BP=4.∵S△OBP=12OB·BP=1∴BD=12∵AB是⊙O的直径，∴AB=20A=6,∠ACB=90°∴AC=1827.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点B(−1,6)和点E(n,−3)，交y轴于点A，以AB为边在AB左侧作正方形ABCD。(1)直接写出m的值：，n的值：；(2)写出不等式ax+b>mx的解集为：(3)①求一次函数y=ax+b的解析式；②请判断点D是否在反比例函数y=mx(4)记一次函数y=kx−2k+2(k≠0)的图象为l，若l与反比例函数y=mx的图象没有公共点，直接写出k的取值范围：（1）﹣62（2）x＜﹣1或0＜x＜2（3）①将B(−1,6)和点E(2,−3)代入y=ax+b中﹣a+b∴y=﹣3x+3②D在反比例函数的图象上（4）﹣9＜k＜0或0