山东省七校联合体2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

山东省七校联合体2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两位老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分.如图所示，当，，时，则（）A. B.C.或 D.2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.3．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）A.1 B.C. D.4．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）A.1 B.2C. D.5．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A B.C. D.7．数列满足，，则（）A. B.C. D.28．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，，，，，，，，…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则等于（）A. B.C. D.10．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）A. B.13C.3 D.511．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.12．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（）A.或 B.C. D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为__________14．已知长方体中，，，则点到平面的距离为______15．已知平面向量均为非零向量，且满足，记向量在向量上投影向量为，则k=______．(用数字作答)16．已知，，且，则的最小值为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）已知双曲线的离心率为2，求E的渐近线方程；（2）已知F是抛物线的焦点，是C上一点，且，求C的方程.18．（12分）如图，在多面体中，和均为等边三角形，D是的中点，.（1）证明：；（2）若，求多面体的体积.19．（12分）某企业搜集了某产品的投人成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）的六组数据，并将其绘制成如图所示的散点图.根据散点图可以看出，y与x之间是线性相关的.（1）试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若投入成本不高于10万元，则可以根据（1）中的回归方程估计产品销售收入；若投入成本高于10万元，投入成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间的关系式为.若该企业要追求更高的毛利率（毛利率），试问该企业对该产品的投入成本选择收人7万元更好，还是选择12万元更好？说明你的理由.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：.20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.21．（12分）男子10米气步枪比赛规则如下：在资格赛中，射手在距离靶子10米处，采用立姿，在105分钟内射击60发子弹，总环数排名前8名的射手进入决赛；在决赛中，每位射手仅射击10发子弹．已知甲乙两名运动员均进入了决赛，资格赛中的环数情况整理得下表：环数频数678910甲2352327乙5502525以各人这60发子弹环数的频率作为决赛中各发子弹环数发生的概率，甲乙两人射击互不影响（1）求甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；（2）决赛打完第9发子弹后，甲比乙落后2环，求最终甲能战胜乙（甲环数大于乙环数）的概率22．（10分）如图，四棱锥中，，且，（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】按照框图考虑成立和不成立即可求解.【详解】因为，，，所以输入，当成立时，，即，解得，，满足条件；当不成立时，，即，解得，，不满足条件；故.故选：B.2、A【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】由＝0可求解【详解】由题意，故选：D4、C【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径为，所以，所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.5、C【解析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.【详解】根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线和所成角为和所成角，连接，在中，，，，所以则异而直线与所成角的余弦值为：，故选：C.6、B【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为令，得；令，得故所求三角形的面积为故选：B7、C【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案【详解】解：∵数列满足，，∴，，，，故数列以4为周期呈现周期性变化，由，故，故选C【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档8、C【解析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C9、A【解析】利用可化简得，由此可得.【详解】由得：，，即.故选：A.10、B【解析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B11、B【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，故在上单调递减；又，故可得，则，即，解得，故不等式解集为.故选：B.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.12、A【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1,它的离心率为：,当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、28【解析】设椭圆的另一个焦点为由椭圆的几何性质可知：，同理可得，且，故,故答案为.14、##2.4【解析】过作于，可证即为点到平面的距离.【详解】过作于，∵是长方体，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，设点到平面的距离为，∵∥平面，∴根据等面积法得，故答案为：.15、##1.5【解析】由两边平方可得，，，设，向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量为，化简可得答案.【详解】因为，所以，，两边平方整理得，，两边平方整理得，即，可得，，设，所以向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，如图，即，因为，，平行四边形即为的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量为，即.故答案为：.16、25【解析】根据，，且，由，利用基本不等式求解.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为25，故答案为：25三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得渐近线方程；（2）利用点在抛物线上及其抛物线的定义列方程求解即可.【详解】（1）∵E的离心率，∴，即，解得，故E的渐近线方程为.（2）∵是C上一点，∴①，由抛物线的定义可知②，两式联立可得，解得则C的方程为.18、（1）见详解（1）.（2）16【解析】（1）证线面垂直从而证线线垂直.（2）把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.【小问1详解】因为，所以共面，连接、,因为和均为等边三角形，D是的中点，所以，，，所以面平，平面，【小问2详解】因为，，四边形是平行四边形，和均为等边三角形，D是的中点，所以，,平行四边形是正方形形，，.19、（1）（2）该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好，理由见解析.【解析】（1）根据公式计算出和，求出线性回归方程；（2）分别求出投入成本7万和12万时的毛利率，比较出大小即可得到答案.【小问1详解】，，，所以y关于x的线性回归方程为；【小问2详解】该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好，理由如下：当时，，此时毛利率为×100％≈34％；当时，，此时毛利率为=40％，因为40％>34％，所以该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据已知条件求出、、的值，可得出椭圆的标准方程；（2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，然后化简直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.【小问1详解】解：椭圆上顶点到焦点距离，又椭圆离心率为，故，，因此，椭圆方程为.【小问2详解】解：设、，由题意可知且，椭圆的右顶点为，则，，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以有，则，即，联立，，即，①由韦达定理得，，所以，，化简得，即或，均满足①式.当时，直线，恒过定点，舍去；当时，直线，恒过定点.综上所述，直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21、（1）（2）【解析】（1）先求出甲运动员打中10环的概率，从而可求出甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；（2）由于甲比乙落后2环，所以甲要获胜，则乙6环，甲9环或10环，或者乙7环，甲10环，再利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小问1详解】由表中的数据可得甲运动员打中10环的概率为，所以甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率为【小问2详解】因为甲比乙落后2环，所以甲要获胜，则乙打中6环，甲打中9环或10环，或者乙打中7环，甲打中10环，因为由题意可得乙打中6环的概率和打中7环的概率均为，甲打中9环的概率为，打中