第1章 有理数（期末复习知识清单）（解析版）-沪科版(2024)七上

第1章有理数（5知识&7题型&5易错&4方法清单）.【清单01】有理数的基础概念有理数概念有理数：整数【清单02】有理数的分类有理数的分类按定义分【清单03】有理数的运算法则有理数的运算加法【清单04】有理数的混合运算顺序有理数混合运算顺序1.先算【清单05】科学记数法与近似数科学记数法：把一个数表示成a×【题型一】有理数的概念辨析【例1】（2025秋•新华区期中）在数2，0，﹣3.7，π，4.8中，有理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】本题考查了有理数的分类．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．【解答】解：2，0，﹣3.7，4.8是有理数，共有4个；π不是有理数；故选D．【点评】本题考查有理数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式1-1】（2025秋•青羊区期中）下列有理数中，是负整数的是（）A．0 B．﹣0.2 C．﹣2025 D．-【分析】根据负整数的定义求解即可．【解答】解：0，﹣0.2，﹣2025，-27中，只有﹣故选：C．【点评】本题考查有理数的定义及分类，掌握整数分为正整数、负整数和0是解决问题的关键．【变式1-2】（2025秋•商河县期中）在310，15，﹣2.6，0，﹣103，-32A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据负分数的定义可以得到答案．要注意负小数也可以化为负分数．【解答】解：在310，15，﹣2.6，0，﹣103，-325，158中，负分数有﹣2.6，﹣故选：B．【点评】本题考查了有理数的负分数的定义，解题的关键是掌握有理数的负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误．【题型二】数轴、相反数与绝对值的应用【例2】（2025秋•北京期中）如图，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b．若a，b互为相反数，且AB＝9，则a的值为（）A．4.5 B．﹣4.5 C．9 D．﹣9【分析】根据相反数的定义即可求解．【解答】解：点A，B在数轴上表示的数分别是a，b．由A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是9，点A在点B的左边，则点A表示的数a是﹣4.5．故选：B．【点评】本题考查了相反数的知识，熟练掌握相反数的概念是关键．【变式2-1】（2024秋•漳平市期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据绝对值的性质可得a≤0，b≥0，再根据|a|＞|b|可得a距离原点比b距离原点远，进而可得答案．【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，∴a≤0，b≥0，∵|a|＞|b|，∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大，故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握正数绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为0．【变式2-2】（2025秋•昌黎县期中）如图，数轴上每相邻两点距离为1个单位长度，若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据数轴上点A和点B互为相反数的性质，以及它们之间的距离，确定点A表示的数．【解答】解：由题意得A，B两点到原点的距离相等．∵点A与点B之间的距离为4个单位长度．∴点A到原点的距离为4÷2＝2．∵点A在原点的左侧，∴点A表示的数是﹣2．故选：A．【点评】本题考查了数轴、相反数，熟练掌握数轴的定义是解题关键．【题型三】有理数的大小比较【例3】（2025秋•德城区期中）下列对两个有理数的比较，错误的是（）A．﹣（﹣1）＞﹣（+2） B．-8C．-(-0.3)＜【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：A、∵﹣（﹣1）＝1，﹣（+2）＝﹣2，∴1＞﹣2，则该选项正确；B、∵-37=-921，|-821|=821，C、∵﹣（﹣0.3）＝0.3，|-13|=D、∵﹣（+0.7）＝﹣0.7，|-34|=34，|﹣0.7|＝0.7，34故选：B．【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．【变式3-1】（2024秋•麻章区期末）有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（）A．﹣a＜a＜1 B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：由数轴，得a＜﹣1，﹣a＞1，a＜1＜﹣a，故选：D．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用不等式的性质是解题关键．【变式3-2】（2025秋•句容市期中）比较下列各组数的大小，正确的是（）A．+（﹣4）＜﹣（+5） B．﹣（﹣1）＜﹣（+3） C．-827＞-【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：A、∵+（﹣4）＝﹣4，﹣（+5）＝﹣5，|﹣4|＝4，|﹣5|＝5，4＜5，﹣4＞﹣5，∴+（﹣4）＞﹣（+5），则该选项错误，不符合题意；B、∵﹣（﹣1）＝1，﹣（+3）＝﹣3，1＞﹣3，∴﹣（﹣1）＞﹣（+3），则该选项错误，不符合题意；C、∵-29=-627，|-827|=827，D、∵﹣（﹣0.4）＝0.4，|-13|=13，0.4故选：D．【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．【题型四】有理数的加减乘除运算【例4】（2025秋•衡水期中）在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是m，最大是n，则m和n的乘积为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据题意，列出所有可能的商：4÷（﹣2）＝﹣2，4÷(-3)=-43，-2÷4=-12，-3÷【解答】解：在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，商最小是m＝4÷（﹣2）＝﹣2，最大是n=∴m和n的乘积为-2×3【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键．【变式4-1】（2025秋•晋江市期中）a、b为任何非零有理数，则a|A．﹣3或1 B．3或1或﹣1 C．1或3 D．﹣1或3【分析】分a与b同号与异号两种情况，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：当a与b同号，且同时为正数时，原式＝1+1+1＝3；同时为负数时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a与b异号时，且a为正b为负时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；a为负b为正时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1，则原式的值可能为﹣1或3，故选：D．【点评】此题考查了有理数的除法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式4-2】（2025秋•潮南区期中）如图，兰兰有5张写着不同数字的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数字相除，所得到的商最小，则最小的商是（）A．﹣2 B．-19 C．﹣9 D【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可．【解答】解：根据题意可知，使卡片上的数字相除，所得到的商最小，应选择一正一负，∴抽取3，-13，最小的商是3÷【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法的运算法则是关键．【题型五】有理数的混合运算【例5】（2025秋•金安区期中）计算：-1【分析】首先根据乘方的定义可得：﹣12＝﹣1、(-【解答】解：原式==-=-【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．【变式5-1】（2025秋•中山区月考）计算：﹣12+[（﹣4）2﹣（1﹣33）×2]．【分析】先算乘方，括号里面的，再算加法即可．【解答】解：﹣12+[（﹣4）2﹣（1﹣33）×2]＝﹣1+[16﹣（1﹣27）×2]＝﹣1+（16+26×2）＝﹣1+（16+52）＝67．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．【变式5-2】（2025秋•渭滨区期中）计算：-1【分析】先算乘方，然后再进行有理数的运算即可．【解答】解：原式=＝﹣1+6﹣5＝0．【点评】本题主要考查的是有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．【题型六】科学记数法与近似数【例6】（2025秋•临颍县期中）天问三号任务是中国行星探测工程的重要组成部分，计划于2028年前后发射．已知地球与火星的最近距离约为55000000千米，则数据“55000000”用科学记数法表示为（）A．5.5×107 B．5.5×108 C．0.55×108 D．0.55×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：55000000＝5.5×107．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式6-1】（2025秋•吉水县期中）吉水是庐陵文化的发祥地，其特产之一的“吉水井冈蜜柚”外形金黄饱满，味道清甜如蜜．据统计，全县共9.85万亩蜜柚种植基地提供的综合产值突破3.5亿元．请将350000000用科学记数法表示为（）A．3.5×107 B．3.5×108 C．35×107 D．0.35×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：350000000＝3.5×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式6-2】（2025秋•垣曲县期中）我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业2.787×105人，用科学记数法表示的数据2.787×105的原数是（）A．2787 B．227870 C．278700 D．2787000【分析】根据科学记数法—原数的方法进行作答即可．【解答】解：2.787×105＝278700．故选：C．【点评】本题主要考查科学记数法—原数，熟练掌握其方法是解题的关键．【题型七】有理数的实际应用题【例7】（2024秋•芝罘区期末）某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下（单位：km）：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+1，﹣6．（1）收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？（2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程；（3）在A地东侧5km处有一个广告牌，小队在这次的检修中有2次经过这个广告牌．【分析】（1）将从A地出发到收工时行走记录相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出检修小队在A地的哪一边以及距离A地的距离；（2）把记录的数的绝对值相加，求出总路程即可．（3）求出每次离A地的距离，判断即可．【解答】解：（1）将从A地出发到收工时行走记录相加：﹣2+（+5）+（﹣1）+（+10）+（﹣3）+（﹣2）+（+1）+（﹣6）＝2，故收工时，小队在A地正东方，距离A地2km；（2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地总路程为：|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+1+|﹣6|+2＝32，答：总路程为32km；（3）第一次离A地正西2km，﹣2+5＝3，第二次离A地正东3km，3﹣1＝2，第三次离A地正东2km，2+10＝12，第四次离A地正东12km，12﹣3＝9，第五次离A地正东9km，9﹣2＝7，第六次离A地正东7km，7+1＝8，第七次离A地正东8km，8﹣6＝2，第八次离A地正东2km，∵广告牌在A地东侧5km处，且2＜5＜12，2＜5＜8，故第四次、第七次共2次经过这个广告牌．【点评】本题考查了正数和负数、有理数的加减运算，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2024秋•文登区期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单位：单）﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12（1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？（2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入．【分析】（1）用表格中这7天送餐量最大的数减去最小的数即可得到答案；（2）把表格中这7天的送餐量求和再加上50×7即可求出总送餐量，再乘以每一单的单价即可得到答案．【解答】解：（1）∵送餐量最多的是星期六，送餐量最少的是星期四，∴+12﹣（﹣6）＝12+6＝18（单），答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多18单；（2）50×7+（﹣4）+（+3）+（﹣5）+（﹣6）+（+9）+（+10）+（+12）＝350﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12＝369（单），∵平均每送一单能获得5元的酬劳，∴369×5＝1845元，答：外卖小哥这一周的收入为1845元．【点评】本题主要考查了有理数四则混合计算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【变式7-2】（2025秋•广东期中）小明坚持跑步锻炼身体，他以30分钟为基准，将连续七天的跑步时间（单位：分钟）记录如下：12，﹣9，11，﹣7，13，15，﹣5（超过30分钟的部分记为“+”，不足30分钟的部分记为“﹣”）（1）跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？（2）若小明跑步的平均速度为每分钟0.15千米，请你计算这七天他共跑了多少千米？【分析】（1）用最大数减去最小数即可求解；（2）先求出这七天的跑步时间，再乘速度即可求解．【解答】解：（1）15﹣（﹣9）＝24（分钟）．故跑步时间最长的一天比最短的一天多跑24分钟；（2）30×7+（12﹣9+11﹣7+13+15﹣5）＝240（分钟），0.15×240＝36（千米）．故这七天他共跑了36千米．【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【题型一】混淆有理数相关概念致错【例1】（2025秋•通道县期中）下列说法，正确的个数是（）①0既不是正数，也不是负数；②2.2③可以写成分数的数就是有理数；④﹣3.1415不是自然数，也不是有理数．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据有理数的定义和性质逐项判断．【解答】解：①0既不是正数也不是负数，正确，符合题意；②2.2③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确，符合题意；④﹣3.1415是有限小数，是有理数，错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义及分类．【变式1-1】（2025秋•保山期中）下列关于有理数的说法正确的是（）A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正数、零、负数【分析】根据有理数的知识逐项判断即可求解．【解答】解：A、有理数分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误；B、整数分为正整数，0、负整数，故本选项错误；C、有理数是可以写成分数形式的数，故本选项正确；D、有理数分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了有理数的分类等知识，有理数的分类标准要统一，做到不重不漏．【变式1-2】（2025秋•闵行区期中）下列说法中，不正确的是（）A．任何有理数都可以化成分数的形式 B．任何有理数都有相反数 C．任何有理数都可以在数轴上表示 D．任何有理数都有倒数【分析】有理数包括整数和分数，但零没有倒数．【解答】解：∵有理数包括零，而零没有倒数，∴选项D“任何有理数都有倒数”不正确．选项A、B、C均正确．故选：D．【点评】本题考查有理数的基本概念和性质，包括有理数的表示、相反数、数轴表示和倒数，解题的关键是掌握相关知识．【题型二】有理数运算中符号错误【例2】（2025秋•栖霞市期中）下列计算正确的是（）A．﹣6+（﹣3）+（﹣1）＝﹣2 B．(-C．7+（﹣0.5）+2﹣3＝5.5 D．(【分析】根据有理数的加减法法则计算即可．【解答】解：A、﹣6+（﹣3）+（﹣1）＝﹣（6+3+1）＝﹣10，选项计算错误，不符合题意；B、(-C、7+（﹣0.5）+2﹣3＝（7+2）﹣（0.5+3）＝9﹣3.5＝5.5，选项计算正确，符合题意；D、(-故选：C．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键．【变式2-1】（2025秋•香洲区期中）把算式﹣10+（﹣12）﹣（﹣16）﹣4写成省略括号和加号的形式是（）A．﹣10﹣12﹣16﹣4 B．﹣10﹣12+16﹣4 C．10﹣12+16﹣4 D．﹣10+12+16﹣4【分析】根据省略括号和加号的法则计算即可．【解答】解：根据题意﹣10+（﹣12）﹣（﹣16）﹣4＝﹣10﹣12+16﹣4．故选：B．【点评】本题考查省略括号和加号运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．【变式2-2】（2025秋•连州市期中）下面算法正确的是（）A．（﹣11）﹣0＝﹣11 B．﹣8+9＝﹣（9﹣8） C．（﹣3）﹣（﹣7）＝﹣（3+7） D．（﹣10）﹣3＝﹣（10﹣3）【分析】需根据运算法则逐一判断各选项的正确性．【解答】解：A、（﹣11）﹣0＝﹣11，正确，符合题意；B、﹣8+9＝+（9﹣8），不符合题意；C、（﹣3）﹣（﹣7）＝﹣3+7＝+（7﹣3），不符合题意；D、（﹣10）﹣3＝﹣10+（﹣3）＝﹣（10+3），不符合题意；故选：A．【点评】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则．【题型三】乘方运算中符号混淆致错【例3】（2025秋•三亚期中）下列四组数中，相等的一组是（）A．﹣22和（﹣2）2 B．﹣（﹣2）3和23 C．﹣|﹣2|和|+2| D．﹣（﹣2）和+（﹣2）【分析】求一个数的绝对值和化简多重符号，分别计算每组两个数的值，判断是否相等即可得到答案．【解答】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，选项不相等，不符合题意；B、﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，23＝8，﹣（﹣2）3＝23，选项相等，符合题意；C、﹣|﹣2|＝﹣2，|+2|＝2，﹣|﹣2|≠|+2|，选项不相等，不符合题意；D、﹣（﹣2）＝2，+（﹣2）＝﹣2，﹣（﹣2）≠+（﹣2），选项不相等，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，掌握相应的混合运算法则是关键．【变式3-1】（2025秋•昭平县期中）下列各式中，不相等的是（）A．（﹣3）2和32 B．|﹣2|3和|﹣23| C．（﹣2）2和|﹣22| D．（﹣3）2和﹣32【分析】对于选项A，根据（﹣3）2＝9，32＝9即可对该选项进行判断；对于选项B，根据|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8即可对该选项进行判断；对于选项C，根据（﹣2）2＝4，|﹣22|＝4即可对该选项进行判断；对于选项D，根据（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9即可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：A，∵（﹣3）2＝9，32＝9，∴（﹣3）2＝32，故选项A，不符合题意；B∵|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8，∴|﹣2|3＝|﹣23|，故选项B，不符合题意；C，∵（﹣2）2＝4，|﹣22|＝4，∴（﹣2）2＝|﹣2|2，故选项C，不符合题意；D，∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2≠﹣32，故该选项，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的意义，有理数乘方运算，理解绝对值的意义，熟练掌握有理数乘方的运算法则是解决问题的关键．【变式3-2】（2025秋•定远县期中）下列各组数中，数值相等的是（）A．﹣（﹣4）2与42 B．﹣53与（﹣5）3 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3【分析】根据乘方的定义分别求出每组的数值，进而比较即可判断求解．【解答】解：A、﹣（﹣4）2＝﹣16，42＝16，﹣（﹣4）2与42数值不相等，不符合题意；B、﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，﹣53与（﹣5）3数值相等，符合题意；C、﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣32×2＝﹣9×2＝﹣18，﹣3×23与﹣32×2数值不相等，不符合题意；D、﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3数值不相等，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键．【题型四】科学记数法中a的范围或n的确定错误【例4】（2025•石嘴山一模）作为宁夏光伏产业重点区域，石嘴山市2025年计划新增260万千瓦光伏装机容量，推动我市“光伏+储能”示范项目建设．260万用科学记数法表示为（）A．2.6×10﹣6 B．0.26×107 C．26×105 D．2.6×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：260万＝2600000＝2.6×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式4-1】（2025秋•榆树市期中）长春神鹿峰是坐落在“中国梅花鹿之乡”双阳区的北国秘境，作为国家4A级景区，神鹿峰在2024年接待游客约211.4万人次，用科学记数法表示这个数为（）A．21.14×105 B．2.114×106 C．0.2114×107 D．2.114×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：211.4万＝2114000＝2.114×106．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式4-2】（2025秋•淇滨区期中）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望宇”．已知月球距离地球约384000km，将384000用科学记数法表示为m×10n，则m，n的值依次为（）A．3.84，5 B．384，3 C．3.84，4 D．38.4，5【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：∵384000＝3.84×105，∴m等于3.84，n等于5．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【题型五】忽略运算顺序致错【例5】（（2025秋•衡山县期中）计算：-23×32【分析】先算乘方，乘除，再算加减即可．【解答】解：原式＝﹣8×3＝﹣12+2＝﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．【变式5-1】（2024秋•杭州期末）计算(-16-14【分析】把原式化为-1【解答】解：原式=＝6+9﹣4＝11，故答案为：11．【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．【变式5-2】（2025秋•修文县期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或﹣24，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：7×（3+3÷7）＝24．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或﹣24的其中一种方法：21﹣（﹣2）×3＝23×3＝24．【分析】根据题目给出的条件运用合理的运算法则计算即可．【解答】解：∵黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，∴21﹣（﹣2）×3＝23×3＝24．【点评】本题考查了灵活运用所学运算法则计算固定结果的一类题目，这就要对数字的选用和法则很熟练才可以．【题型一】有理数概念辨析解题技巧核心技巧：紧扣定义，排除特例。对于易混淆概念（如正数与整数、绝对值与相反数），通过举反例验证（如0是整数但不是正数，绝对值相等的数可能互为相反数）；牢记特殊数的性质（0的相反数、倒数、绝对值特征）。【例1】（2025秋•遂宁期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣[+（﹣4.9）]与4.9 B．﹣2.3与2.31 C．﹣（﹣3.2）与﹣3.2 D．﹣（+1）与+（﹣1）【分析】先化简，再根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数的两个数．【解答】解：根据只有符号不同的两个数是相反数逐项分析判断如下：A．﹣[+（﹣4.9）]＝4.9与4.9不是互为相反数，故不符合题意；B．﹣2.3+2.31＝0.01≠0，则不是互为相反数，故不符合题意；C．﹣（﹣3.2）＝3.2与﹣3.2是互为相反数，符合题意；D．﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，则不是互为相反数，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查相反数、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．【变式1-1】（2025秋•呼和浩特期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2与+（+2） B．﹣2与-(C．+（﹣2）与-12 D．﹣（﹣2）与|【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项判断即可得出答案．【解答】解：A、﹣2与+（+2）是互为相反数，符合题意；B、﹣2与-(C、+（﹣2）与-1D、﹣（﹣2）与|﹣2|不是互为相反数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了相反数、绝对值、有理数的乘方，掌握相应的运算法则是关键．【变式1-2】（2025秋•兴宁区期中）下列各对数中，互为倒数的一对是（）A．53和35 B．﹣4和4 C．﹣3和13 D．【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数．【解答】解：A．∵53×35=1B．∵﹣4×4≠1，∴﹣4和4不互为倒数，故不符合题意；C．∵﹣3×13≠1，∴﹣3D．0没有倒数，∴0和0不互为倒数，故不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．注意0没有倒数．【题型二】有理数程序框运算解题技巧核心技巧：将程序框运算进行转化；灵活运用运算律简化计算（加法交换律、结合律凑整，乘法分配律去括号）；遇到分数、小数混合运算，统一化为分数或小数再计算；注意乘方运算的符号规则（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）。【例2】（2024秋•吉林期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则输出的结果是﹣5．【分析】根据题意列式计算，直至结果小于﹣4即可．【解答】解：若开始输入x的值为﹣2，则2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3＞﹣4，返回继续运算；2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5＜﹣4，输出结果；故答案为：﹣5．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【变式2-1】（2025秋•青羊区期中）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为﹣2，则输出的值为3．【分析】根据框图中的运算法则列式计算即可．【解答】解：当x＝﹣2时，2×（﹣2）2﹣5＝2×4﹣5＝8﹣5＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式并计算是解题的关键．【变式2-2】（2025秋•渭滨区期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入x＝﹣2时，输出的结果是8．【分析】把x＝﹣2代入代数式进行计算即可．【解答】解：由题意得，当x＝﹣2时，2×（﹣2）2＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．【题型三】数轴与绝对值综合解题技巧核心技巧：利用数轴的几何意义（数轴上两点间距离=右边数-左边数）；绝对值问题分类讨论（根据绝对值内代数式的正负性去绝对值符号）；记住结论：|a-b|表示数轴上a、b两点间的距离。【例3】（2025秋•慈溪市期中）我们知道，在数轴上|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．例如，点A表示的数是2，点B表示的数为﹣3，A，B两点之间的距离为：AB＝|2﹣（﹣3）|＝|2+3|＝5．利用此结论，回答以下问题：（1）A所表示的数是﹣1，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是7；（2）若|a+6|＝1，则a＝﹣5或﹣7；（3）结合数轴，求得|a﹣6|+|a+6|的最小值为12．【分析】（1）根据数轴上点的距离定义即可得到答案；（2）|a+6|＝1，即|a﹣（﹣6）|＝1，表示数轴上点a到点﹣6的距离为1，从而即可得到答案；（3）要求|a﹣6|+|a+6|的最小值，相当于在数轴上找一个点a，使得它到6和﹣6的距离之和最小，根据几何意义，当点在6和﹣6之间时，它们的和最小，从而得到答案．【解答】解：（1）根据绝对值的几何意义可知，AB＝|6﹣（﹣1）|＝|6+1|＝7．故答案为：7；（2）∵|a+6|＝1，即|a﹣（﹣6）|＝1，∴点a到点﹣6的距离为1，∴a＝﹣5或a＝﹣7；（3）设点a是数轴上一点，根据绝对值的几何意义可知，当点a在6和﹣6之间时|a﹣6|+|a+6|有最小值，∴|a﹣6|+|a+6|有最小值为12．【点评】本题考查了绝对值，数轴，掌握数轴上点的距离是关键．【变式3-1】（2025秋•哈尔滨期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示﹣4和7的两点之间的距离是11；（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是8；最小距离是2．【分析】（1）直接将表示的两个数代入距离公式|m﹣n|，代入m＝﹣4、n＝7计算即可；（2）根据绝对值的几何意义，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|＝3表示x到﹣1的距离为3，由此列方程x+1＝±3求解；（3）先分别解两个绝对值方程，得到a、b的所有可能值，再计算所有情况下A、B两点的距离，对比得出最大和最小距离．【解答】解：（1）根据数轴上两点间距离公式|m﹣n|，将m＝﹣4、n＝7代入得：|﹣4﹣7|＝|﹣11|＝11．故答案为：11；（2）由绝对值的性质，若|x+1|＝3，则x+1＝3或x+1＝﹣3，当x+1＝3时，解得x＝3﹣1＝2；当x+1＝﹣3时，解得x＝﹣3﹣1＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，由绝对值性质得a﹣3＝2或a﹣3＝﹣2，解得a＝3+2＝5或a＝3﹣2＝1．解|b+2|＝1：由绝对值性质得b+2＝1或b+2＝﹣1，解得b＝1﹣2＝﹣1或b＝﹣1﹣2＝﹣3．计算A、B两点间距离：当a＝5、b＝﹣1时，距离为|5﹣（﹣1）|＝6；当a＝5、b＝﹣3时，距离为|5﹣（﹣3）|＝8；当a＝1、b＝﹣1时，距离为|1﹣（﹣1）|＝2；当a＝1、b＝﹣3时，距离为|1﹣（﹣3）|＝4．故答案为：8；2．【点评】本题考查了数轴上两点间距离公式的应用、绝对值的几何意义及绝对值方程的解法，解题的关键是熟练掌握“数轴上两点距离等于两点所表示数的差的绝对值”，并能利用绝对值的性质求解方程、计算两点间距离．【变式3-2】（2025秋•上蔡县期中）在数轴上，点A，B所表示的数分别是a，b，回答下列问题：（1）若a＝﹣2，b＝1，则A，B两点间的距离是3；（2）试用含a，b的式子表示A，B两点间的距离为|a﹣b|，并用文字说明|a+3|在数轴上表示的几何意义：表示数轴上表示a的点到表示﹣3的点的距离；（3）若x可以取任意有理数，则代数式|x+1|+|x﹣3|有最小值（填：“大”或“小”），该值等于4．【分析】（1）根据绝对值的几何意义AB＝1﹣（﹣2）＝3；（2）根据绝对值的几何意义AB＝|a﹣b|，|a+3|＝|a﹣（﹣3）|表示数轴上a到﹣3的距离；（3）根据绝对值的几何意义表示出|x+1|+|x﹣3|＝|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|的几何意义，求解即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2