第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·提升卷）教师版-沪科版(2024)七上

第3章一次方程与方程组（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列哪个数是方程的解？（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】解：，去分母，得，移项、合并同类项，得将系数化为1，得．故选：C．2．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（）A．1 B．0 C．2 D．【答案】A【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得，又∵，∴，解得，故选：A．3．下列方程的变形中，正确的是（

）①，变形为；②，变形为；③，变形为；④，变形为．A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【答案】C【详解】解：，变形为，故①错误；，变形为；故②正确；，变形为；故③错误；，变形为，故④正确．故选C．4．如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和相等，若分别表示其中的一个数，则的值是（）a1cbA．0 B． C． D．【答案】A【详解】解：∵第二列上各数和为：，∴第三行第三列的数为：，第一行最后数为：，∴，即；∴，即；，即，∴，故选：A．5．已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（

）A． B． C． D．5【答案】A【详解】解：∵方程，∴，解得：，将代入方程得：，即，∴，∴，∴．故选A．6．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（

）A．125 B．110 C．75 D．60【答案】A【详解】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，∴这五个数的和为，当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意；当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意；当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意；当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意；故选：A．7．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（）A．12 B．13 C．18 D．19【答案】D【详解】解：∵方程，乘以6得：，即，∴，∴，∴．∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）．15的约数为．令，则．代入值求：时，；时，；时，；时，（舍去）；时，；时，（舍去）；时，；时，（舍去）．∴满足条件的正整数为1，2，3，4，9．其和为．故选：D．8．如图，某小区进行项目改造：在一块长18、宽13的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺植草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；则通道的宽是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设通道的宽为，，由题意得：，解得：，答：通道的宽是．故选B．9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（

）A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺【答案】D【详解】解：A：由题意可知绳索长，对折后长度为，∵对折后比竿短5尺，∴，正确；B：设绳索长为y尺，则，即，代入A得，可得，正确；C：设绳索长为y尺，∵绳索比竿长5尺，∴，∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，∴，∴，正确；D：解方程得，故竿长应为15尺，错误；故选：D．10．数轴上点和点表示的数分别是和2，点到，两点的距离之和为10，则点表示的数是（

）A． B．或3 C． D．或4【答案】D【详解】解：∵数轴上点和点表示的数分别是和2，∴之间的距离为，∴点不可能在之间，①当点在点左边，设表示的数为，∴，，∴，解得，；②当点在点右边，设表示的数为，∴，，∴，解得，；综上所述，点表示的数是或，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知，则的值为．【答案】1【详解】解：得∴故答案为：．12．一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有个鸡蛋．【答案】42【详解】解：设农妇篮子里原来有x个鸡蛋，则第一次卖掉个鸡蛋，第二次卖掉个鸡蛋，根据题意：，整理得：，解得：，则农妇篮子里原来有个鸡蛋．故答案为：．13．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是．【答案】9【详解】解：把代入方程，得，得，即，整理得，由于k为任意值，它的解总是，故，解得，，所以，故答案为：9．14．将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）．

（1）图（1）中的值为；（2）图（2）幻方中9个数的和为．【答案】554【详解】解：（1）根据第一横行和左下右上对角线相等得，，∴．故答案为：5；（2）∵，∴右下角的数是：，∴中间的数是：，∴幻方中9个数的和为：．故答案为：54．三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．解方程：(1)(2)【详解】（1）解：，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：．（2）解：，，得：③，，得：，，将代入②得：，得：，所以．16．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解．【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，,解得，乙看错了方程②中的，解得，,解得，原方程组为，由①得③，把③代入②得，解得，将代入③得，方程组的解为．17．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”．(1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由；(2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值．【详解】（1）解：方程与为“互反方程．理由：解方程，得，解方程，得，∵，∴方程与为“互反方程；（2）解：解方程，得，解方程，得，则，即，解得，∵两个方程为“互反方程”，，∴是方程的解，∵，∴．18．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组．小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值．(1)按照小云的方法，求出的值；(2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．【详解】（1）解：联立①③得：，由整理得，解得将代入③得：，解得：，．（2）解：，由得：，则，∵∴则，．19．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．(1)请问该车间有男生、女生各多少人？(2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则，解得，则，答：该车间有男生31人，女生人数是54人．（2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，由题意得：解得：，答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮．20．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米．(1)求小长方形的长和宽；(2)求该实践基地的面积．【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米，由题意得：，解得．答：小长方形的长和宽分别为60米，20米；（2）解：大长方形的长为米，宽为80米，所以大长方形的面积．答：该实践基地的面积为．21．如图，某小区居民为了防止楼上活动幅度较大，影响楼下邻居休息，用图1的泡沫环保垫对家里客厅进行铺设．图1是拼接单元，按图2的拼接方式拼接．(1)若3个图1的拼接单元拼接后，总长度是________；(2)个图1的拼接单元拼接后，总长度是多少？（请用含的代数式表示）(3)若拼接后总长度为，求所用图1拼接单元的个数．【详解】（1）解：1个拼接单元的长度是，2个拼接单元的长度是，3个拼接单元的长度是，故答案为：130；（2）解：由（1）可知，个图1的拼接单元拼接后，总长度是（3）解：由题意，得，解得，所以用图1拼接单元的个数为9个．22．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：档次月用电量电价（元/度）第1档不超过240度的部分第2档超过240度但不超过400度的部分第3档超过400度的部分已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元.(1)表中的值为________；(2)求老李家9月份的用电量；(3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量.【详解】（1）依题意得：，解得：．故答案为：．（2）设老李家9月份的用电量为x度，∵（元），，∴．依题意得：，解得：．答：老李家9月份的用电量为300度．（3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度，∴老李家8月份用电量一定超过400度，设老李家8月份的用电量为y度，依题意得：，解得：．答：老李家8月份的用电量为800度．23．【概念学习】1．阅读绝对值拓展材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离．2．定义：点A，B，M为数轴上的任意三点（点M不与A，B重合），若点M到点A的距离是点M到点B的距离的x倍，则称点M是的“x值点”，记作：．例如，点M表示的数为1，点A表示的数为，点B表示的数为3，此时，，，则点M是的“2值点”，记作：．【初步认知】（1）如图，点A，点B表示的数分别是和6；①已知如图，两点的距离为，数轴上任意一点C表示的数为x，则两点的距离可以表示为．②若点D，E表示的数分别是，3，则这两个点中是的“2值点”的点是；【深入思考