第3章 一次方程与方程组（期末复习知识清单）（原卷版）-沪科版(2024)七上

第3章一次方程与方程组（5知识&7题型&5易错&4方法清单）.【清单01】一次方程与方程组的基础概念一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程，其一般形式为ax+b=0（a、b为常数，且a≠0）。例如二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，一般形式为ax+by=c（a、b、c为常数，且a≠0，b二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，方程组中含有两个未知数，且每个方程都是整式方程。例如x+方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。一元一次方程有且只有一个解；二元一次方程有无数个解，其解可以表示为x=ty解方程与解方程组：求方程或方程组的解的过程叫做解方程或解方程组。【清单02】一元一次方程的解法解一元一次方程的核心是通过等式的性质，逐步将方程转化为x=k（1.【清单03】二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法核心是“消元”，即把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，常见方法有两种：代入消元法：先从其中一个方程中求出一个未知数的表达式（用含另一个未知数的式子表示），再把这个表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程，求解后再代入求出另一个未知数的值。加减消元法：在两个方程的两边分别乘以适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，然后把两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程，进而求解。【清单04】一次方程与方程组的应用列一次方程（组）解决实际问题的关键是找出题目中的等量关系，具体步骤：审常见的实际应用题型包括：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%）、浓度问题、和差倍分问题、配套问题等。【清单05】一次方程与方程组的特殊情况一元一次方程的特殊解：当a=0时，若b=0，方程ax+二元一次方程组的特殊解：对于方程组a1当a1当a1当a1【题型一】一次方程与方程组的概念辨析【例1】（2024秋•吉林期末）下列各式是一元一次方程的是（）A．x+8 B．3x2+1＝2 C．5x+y＝3 D．x﹣1＝0【变式1-1】（2025春•开福区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（）A．x+y=3z+C．x+y=3xy【变式1-2】（2025秋•重庆月考）下列方程是二元一次方程的是（）A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．2x+3y=1 D．2x﹣【题型二】一元一次方程的解法【例2】（2024秋•莒南县期末）下列在解方程的过程中，变形正确的是（）A．将“12x-x-26=1”去分母，得“3xB．将“2x﹣（x﹣2）＝1”去括号，得“2x﹣x﹣2＝1” C．将“x+1＝2x﹣3”移项，得“x﹣2x＝﹣1﹣3” D．将“2x＝3”，系数化为1，得“x=2【变式2-1】（2025秋•姜堰区期中）整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式ax﹣3b对应的值，则关于x的方程ax﹣4＝3b的解为（）x﹣3﹣2﹣1012ax﹣3b12840﹣4﹣8A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3【变式2-2】（2024秋•古蔺县期末）下列变形正确的是（）A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由2x-13=1+x-32，去分母得2（2x﹣C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把x0.7-【题型三】二元一次方程组的解法【例3】（2025春•葫芦岛月考）利用加减消元法解方程组2xA．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2【变式3-1】（2025春•莆田期中）二元一次方程a1x+b1y＝c1的解为二元一次方程a2x+b2y＝c2的解x为则方程组a1x+A．x=5y=-3 BC．x=-3y【变式3-2】（2025秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x、y的方程组4x-3y=4k2x+yA．1 B．15 C．35 D【题型四】一次方程与方程组的特殊解问题【例4】（2024秋•东港区期末）已知关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，则负整数a的所有可能的取值的积为（）A．8 B．﹣8 C．48 D．﹣48【变式4-1】（2025秋•庐阳区校级期中）如果a，b为定值时，关于x的方程3kx+a2-x+bk4A．18 B．15 C．12 D．10【变式4-2】（2025春•顺义区期末）已知关于x，y的方程组x+2①当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解相同；②存在有理数k，使得x+y＝0；③当3x+5y＞3时，k＞1④对于任意有理数k，x+3y的值始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．③④【题型五】一次方程与方程组的应用（行程问题）【例5】（2025秋•哈尔滨校级期中）小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用5分钟，小聪跑一圈要用4分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，（）分后小聪超出小明一整圈．A．209 B．409 C．20 D【变式5-1】（2024秋•河东区期末）小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（）A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米【题型六】一次方程与方程组的应用（工程、利润等其他问题）【例6】（2024秋•曲靖期末）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，每件标价为400元，若按标价的8折出售，仍可获利60元，则这款羽绒服每件的进价为（）A．220元 B．240元 C．260元 D．280元【变式6-1】（2025春•济宁期末）我市积极推进全国文明城市建设，对城内部分河道进行整治．现有一段长1200米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治50米，共用时28天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？淇淇和嘉嘉所列的方程组分别如图所示，下列判断正确的是（）淇淇解：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．由题意，得x+嘉嘉解：设甲工程队工作了m天，乙工程队工作了n天．由题意，得40mA．只有淇淇列的方程组正确 B．只有嘉嘉列的方程组正确 C．淇淇和嘉嘉列的方程组都正确 D．淇淇和嘉嘉列的方程组都不正确【变式6-2】（2024秋•富锦市期末）一个书包在进价的基础上调高20%后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（）元．A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元【题型七】开放型问题（补充条件或设计方案）【例7】（2025春•鼓楼区期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：3aA．3a+b＝12 B．a4C．4a+3b3【变式7-1】（2025•确山县二模）写一个关于x，y的二元一次方程组．【变式7-2】（2024秋•临沭县期末）请写出一个同时符合下列条件的一元一次方程：（1）未知数系数是13；（2）使它的解为﹣3，那么这个方程可以是【题型一】概念理解不清致错【例1】（2024秋•高台县期末）已知方程（5+a）x|a|﹣4+3＝0是一元一次方程，则a的值为（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．0【变式1-1】（2025秋•武侯区校级期中）|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝（）A．2 B．0 C．1 D．﹣1【变式1-2】（2025春•富锦市期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．2x-y=1xC．x-y=1xy【题型二】解方程时步骤出错【例2】（2025秋•武侯区校级期中）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务：解方程：x-解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（2x﹣3）＝1…①去括号，得3x﹣3﹣4x﹣6＝1…②，得3x﹣4x＝1+3+6…③合并同类项，得﹣x＝10…④系数化为1，得x＝﹣10…⑤（1）该同学的解答过程在第步开始就出现错误；（填写对应编号）（2）该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是；（3）请你写出此方程的正确解答过程．【变式2-1】（2024秋•安阳县期末）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．解方程：x-解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（x﹣4）＝2，……第一步去括号，得3x﹣3﹣2x+8＝2，……第二步，得3x﹣2x＝2+3﹣8，……第三步合并同类项，得x＝﹣3．………第四步（1）请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是；（2）这位同学从第步开始出现错误，具体的错误是；（3）求解此方程．【题型三】解方程组时消元出错【例3】（2025春•武都区期末）用加减消元法解方程组2xA．要消去x，可以将①×3﹣②×5 B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×3+②×2【变式3-1】（2025春•寒亭区期末）解关于x，y的方程组3xA．②×2+①，消去x B．由②得x=3+y2代入C．①×2﹣②×3，消去x D．由②得y＝2x+3代入①，消去y【变式3-2】（2025春•盐山县期末）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（）A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁【题型四】列方程（组）时等量关系错误【例4】（2024秋•旬邑县期末）小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，设小逸现在的年龄为x岁，小逸的爸爸现在的年龄为y岁，根据题意可列方程组：．【变式4-1】（2025•湖北模拟）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为．【变式4-2】（2025秋•扬州期中）3月12日是植树节，阳光学校组织了植树活动．已知八年级师生共植树70棵，比七年级师生植树数量的1.5倍还多10棵，若设七年级师生植树x棵，则可列方程为．【题型五】无法厘清形积问题中的数量关系导致错误【例5】（2025•广西模拟）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（）A．4y=40y=3xC．x+y=403【变式5-1】（2025•深圳校级二模）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（）A．x+2y=204xC．x+2y=203【变式5-2】（2025春•新会区校级期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的二元一次方程组为（）A．2(y-1)=x+1C．2(y+1)=x+1【题型一】概念辨析解题技巧核心技巧：紧扣定义关键词（如“一个未知数”“次数为1”“整式方程”），逐一排除不符合条件的选项；对于含参数的方程，需同时满足“次数要求”和“系数不为0”两个条件。【例1】（2024秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k﹣3|+1＝2025是一元一次方程，则k的值是．【变式1-1】（2024秋•金凤区校级期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为．【变式1—2】（2025春•商水县校级月考）若x-(m-1)y=5，x|m【题型二】解方程（组）解题技巧核心技巧：解一元一次方程时，按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤进行，每一步注意符号和漏乘问题；解二元一次方程组时，根据方程特点选择消元方法（未知数系数为1或-1时优先用代入消元法，系数成倍数关系时优先用加减消元法）。【例2】（2025秋•越秀区校级期中）若|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为．【变式2-1】（2024秋•颍州区期末）小林在解方程2x-13=x+a2-1去分母时，方程右边的﹣1漏乘了6【变式2-2】（2025春•蔡甸区校级期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组a1x+b1y=c【题型三】实际应用解题技巧核心技巧：先梳理题目中的数量关系，找出关键等量关系（行程问题：路程和/差=速度和/差×时间；工程问题：工作量和=效率和×时间；利润问题：售价=进价×（1+利润率）等），设未知数时优先设直接未知数，复杂问题可设间接未知数，列方程后需检验解的实际意义。【例3】（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种