2024年自考历年线性代数考试试题及答案解析

自考历年线性代数考试试题及答案解析精选

第壹部分选择题(共28分)

一、军项选择题［本大题共14小题,每题2分,共28分］在每题列出的四低

选项中只有壹种是符合题目规定的将其代码填在题彳爰的括号内.金普选或未选均

^分.

1、设行列式/，二n,则行列式等于口

A、m+nB、一(m+n)

C^n—mD、m-n

2、设矩阵A二,则Ar等于口

A、B、

C、D、

3、设矩阵A二,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于［1,2］的元素是口

A、-6B、6

C、2D、一2

4、设A是方阵,如有矩阵关系式AB二AC,则必有口

A、A=0B、3c畤A=0

C、AOB=CD、|A|OH$B=C

5、已知3X4矩阵A的行向量组线性瓢关，则秩［A］等于口

A、1B、2

C、3D、4

6、设两佰I向量组ai,a2,…,一和03,…，氏均线性有关，则口

A、有不全悬0的数入1,入2,…，入s使人Ia1+入2。2+…+入5。s=0和入1B1+入282+…

入凡二0

有不全悬0的数21,人力…，入'使人』Q1+B1+入21a2+B2】+…+入」Qs-B51=0

+，+a

C、有不全卷0的数入2,…，入s使入Ja1-P)］+X2［a2—P2］**s—B

s］=0

D、有不全卷0的数人】，入2,…，入6和不全卷0的数PI,口2,…，入使入1。廿入2

a2+…+-,a尸0和rIBi+口2B2+,・・+UsB«=0

7、设矩阵A的秩卷r,则A中口

A、所有r-1阶子式都不悬0B、所有r-1阶子式全卷0

C、至少有青种r阶子式不等于0D、所有r阶子式都不卷0

8、设Ax二b是壹非齐次线性方程组，入，n2是其任意2倜解，则下面盆•论^误的是

A^n1+「2是Ax=o的壹种解B、n1+。2是Ax=b的壹种解

C、口「42是A*二0的壹种解D、2n「是Ax二b的壹种解

9、设n阶方阵A不可逆，则必有口

A、秩(A)<nB、秩(A)=n—1

C、A=0D、方程组Ax=O只有零解

10、设A是壹种n(23)阶方阵,下面陈^中封的的是口

A、如存在数A和向量a使Aa二人。，则。是A的属于特罢占值人的特黠向量

B、如存在数X和非零向量Q,使(AE-A)a=0,则人是A的特粘,值

C、A的2偃|不壹样的特黠值可以有同壹种特黑占向量

D、如入1,入2,入3是A的3(0互不相似的特黠值，aba2,a3依次是A的属于人

i,入2,入3的特黠向量，则ai,a2,s有也^线性有关

11、设入。是矩阵A的特粘方程的3重根,A的属于入。的线性辗关的特黠向量的

他数卷k,则必有口

A、kW3B、k<3

C、k=3D、k>3

12、设A是正交矩阵则下面结论金昔误的是口

A、|A「必卷1B、|A|必卷1

C、AfiD、A的行［列］向量组是正交军位向量组

13、设A是实封称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C'AC、则口

A、A和B相似

B、A和B不等价

C、A和B有相似的特黠值

D、A和B协,议

14、下面矩阵中是正定矩阵的卷口

A、B、

C、D、

第一部分非选择题［共72分］

二、填空题［本大题共10小题,每题2分,共20分］不写解答谩程,将封的的答

案写在每题的空格内.余昔填或不填均瓢分.

15>_________

16、设A=,B=、则A+2B=

17、设A=(aij)3x3,IA|=2,A“表达|A|中元素a”的代数余子式[i,j=l,2,3],则

(anAzi+a】2A22+a]3AJ+(Ai+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=

18、设向量⑵-3,5］和向量［-4,6,a］线性有关,则a二、

19、设A是3X4矩阵,其秩卷3,若明,n2卷非齐次线性方程组Ax二b的2彳固不

壹样的解,则它的通解卷、

20、设A是mXn矩阵,A的秩卷r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的壹种基础解系

中具有解的低1数悬、

21、设向量Q、B的畏度依次卷2和3,则向量a+B和a—B的内积［a+B,a

—P］=、

22、设3阶矩阵A的行列式A|=8,已知A有2他特黠值一1和4,则另壹特黠值

23、设矩阵A二，已知a二是它的壹种特黠向量，则a所封应的特黠值卷

24、设实二次型f(xbX%x3,xi,x5)的秩悬4,正惯性指数卷3,则其规范形

_______、

三、计算题［本大题共7小题,每题6分，共42分］

25、设A=,B=、求⑴AB\［2］|4A|、

26、试计算行列式、

27、设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B、

28、幺合定向量组a,=,a2=,a3=,a产、

试判断Q,与否卷J,a2,Q.的线性组合；若是，则求出组合系数.

29、设矩阵A=、

求：［1］秩［A］；

［2］A的列向量纪的壹种最大线性辗关组.

30、设矩阵A二的所有特黠值悬1,1和一8、求正交矩阵T和封角矩阵D,使『AT二D、

31、试用配措施化下面二次型卷原则形

f(X1,x2,x3)=,

并写出所用的满秩线性变换.

四、证明题［本大题共2小题,每题5分，共10分］

32、设方阵A满足AW),试证明E-A可逆，且［E—A］T=E+A+A2、

33、设n。是非齐次线性方程组Ax二b的壹种特解，工上是其导出组Ax=0的壹

种基础解系、试证明

［1］ni=n0+C1,一二八+一均是人乂丸的解;

［2］n。，nI,n2线性融关.

答案：

壹、甲.项选择题［本大题共14小题,每题2分，共28分］

1、D2、B3、B4、D5、C

6、D7、C8、A9、A10、B

11、A12、B13、D14、C

二、填空题［本大题共10空,每空2分，共20分］

15、6

16、

17、4

18、-10

19、ni+c(n2—ni)［或n2+c(n2—ni)］,c■^任意常数

20>n一r

21、-5

22、-2

23、1

24、

三、计算题［本大题共7小题,每题6分，共42分］

25、解⑴ABJ

一、

⑵14Al=41A］=64|A|,而

|A|=>

因此14Al=64-［-2］=—128

26、解

27、解AB=A+2B即[A-2E]B=A,而

[A-2E]-'=

因此B二(A—2E)-A二

28、解壹

因此Q4=2ai+a2+a3,组合系数而2,1,1］、

解二考虑a4=Xia］+x2。2+X3Q3,

即

方程组有唯壹解［2,L组合系数卷［2,1,1］、

29、解封矩阵A施行初等行变换

A

二B、

⑴秩皿=3,因此秩[A]:秩此秋3、

[2]由于A和B的列向量组有相似的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、

2、4列是B的列向量组的壹种最大线性辗关组，故A的第1、2、4列是A的

列向量组的壹种最大线性辗关组.

[A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是]

30、解A的属于特黠值入=1的2倜线性辗关的特黠向量卷

"=[2,—1,0了，，=⑵。,UT>

正交原则化得n2=.

入二-8的壹种特黠向量卷

g3二,位化得n3=

所求正交矩阵^T二、

封角矩阵D=

[也可取T=、]

=222

31、解f(Xi,x2,X3)[XI+2X2—2X3]—2X2+4X2X3—7x3

22

=[XI+2X2-2x3]—2[x2-x3]-5X3\

设，即，

因其系数矩阵O可逆，故此线性变换满秩.

^此变换即得f(xb羽x3)的原则形

22

Yi-2y2—5yA

四、证明题[本大题共2小题，每题5分，共10分]

32、证由于[E—A][E+A+A2]=E—A3=E,

因此E-A可逆,且

[E—A]-1=E+A+A\

33、证由假设An产b,AL=0,AW2=0、

[1]An,=A[no+Ci]=An0+A€i=b,同理An2二b,

因此n1,n2是Ax=b的2他I解.

[2]考虑loHo+1)ni+12H2=0,

即[I0+L+I2]no+L&i+k82=0、

则lo+L+b=O,否贝iJn0将是Ax=0的解，矛盾.因此

liCi+l2C2=0、

又由假设，",€2线性辗关,因此1尸0,1尸0,彳花而1。=0、

因此n0,n1,n2线性辗关.

线性代数期末考试题

壹、填空题[将封的答案填在题中横线上.每题2分，共10分]

1>若,则•

2、若齐次线性方程组只有零解，则应满足.

3、已知矩阵，满足，则和分别是阶矩阵.

4、矩阵的行向量组线性.

5、阶方阵满足，则.

二、判断正误[封的的在括号内填"误的在括号内填"X”.每题2分，共

10分]

1、若行列式中每值1元素都不小于零，则.口

2、零向量壹定可以表到达任意壹组向量的线性组合.口

3、向量组中，假如和封应的分量成比例，则向量组线性有关.口

4、,贝IJ.□

5、1卷可逆矩阵的特罢占值，则的特粘值卷<>

三、单项选择题（每题仅有壹种封的答案，将封的答案题号填入括号内.

每题2分，共10分）

1、设悬阶矩阵，且，则口.

①②③④4

2、维向量组［3«sVn］线性辗关的充要条件是口.

①中任意两保I向量都线性罪关

②中存在壹种向量不能用其他向量线性表达

③中任壹种向量都不能用其他向量线性表达

④中不含零向量

3、下面命题中封的的是◊.

①任意倜维向量线性有关

②任意彳固维向量线性辗关

③任意倜维向量线性有关

④任意他I维向量线性辗关

4、设，均悬n阶方阵，下面结论封的的是◊.

①若，均可逆，则可逆②若，均可逆，则可逆

③若可逆,则可逆④若可逆，则,均可逆

5、若是线性方程组的基础解系，则是的口

①解向量②基础解系③通解④A的行向量

四、计算题（每1S9分，共63分）

1、计算行列式.

解・

2、设,且求.

解、，

3、设且矩阵满足关系式求.

4、冏取何值畤，下面向量组线性有关?.

5、卷何值H寺,线性方程组有唯壹解,辗解和有辗穷多解?常方程组有辗穷多解畤求

其通解.

①常且畤,方程组有唯壹解；

②常畤方程组辗解

③常畤，有瓢穷多组解,通解卷

6、设求此向量组的秩和壹种极大辗关组,并将其他向量用该极大辗关组线件表达.

7、设，求的特黠值及封应的特黠向量.

五、证明题（7分）

若是阶方阵,且证明.其中四单位矩阵.

XXX大挚线性代数期末考试题答案

壹、填空题

1、52、3、4、有关

5、

二、判断正误

1、X2、J3、J4、J5、X

三、单项选择题

1、③2、③3、③4、②5、①

四、计算题

1、

2、

3、

4、

常或口寺，向量组线性有关.

5、

①富且H寺,方程组有唯壹解；

②常畴方程组辗解

③常畤，有瓢穷多组解,通解卷

6、

则，其中构成极大辗关组，

7、

特黠值，封于入1=1,,特黠向量悬

五、证明题

【线性代数】复习提纲

第壹部分:基本规定［计算方面］

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算［如有行和、列和相等］;

矩阵的运算［包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算］;

求矩阵的秩、逆［两种措施］;解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的状况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解［包括唯壹、辗穷多解］;

讨论壹种向量能否用和向量组线性表达；

讨论或证明向量组的有关性；

求向量组的极大辗关组,并将多出向量用极大辗关组线性表达；

将辗关组正交化、军位化；

求方阵的特粘值和特粘向量；

讨论方阵能否封角化如能,要能写出相似变换的矩阵及封角阵；

通谩正交相似变换［正交矩阵］将封称矩阵封角化；

写出二次型的矩阵,并将二次型原则化,写出变换矩阵；

鉴定二次型或封称矩阵的正定性.

第二部分:基本知识

堂、行列式

1、行列式的定义

用Z2俯I元素aij构成的记号称悬n阶行列式.

口］它表达所有也言午的取自不壹样行不壹样列的n值I元素乘积的代数和;

［2］展^式共有n!项,其中符号正负各半；

2、行列式的计算

壹阶IQI二a行列式，二、三阶行列式有封角线法则；

N阶［n>=3］行列式的计算：降阶法

定理:n阶行列式的值等于它的任意壹行［列］的各元素和其封应的代数余子式乘

积的和.

措施:选用比较简朴的壹行［列］，保保留壹种非零元素,其他元素化悬0,运用定

理展^降阶.

特殊状况

上、下三角形行列式、封角形行列式的值等于主封角线上元素的乘积；

［2］行列式值卷0的几种状况：

I行列式某行［列］元素全卷0;

II行列式某行［列］的封应元素相似；

III行列式某行［列］的元素封应成比例；

IV奇数阶的反封称行列式.

二、矩阵

1、矩阵的基本概念［表达符号、某些特殊矩阵一一如罩位矩阵、封角、封称矩

阵等］;

2、矩阵的运算

［1］加涧；、数乘、乘法运算的条件、成果；

［2］有关乘法的几种结论：

①矩阵乘法壹般不满足互换律［若AB=BA,称A、B是可互换矩阵］；

②矩阵乘法壹般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B悬同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

©|kA|=k"n|A|

3、矩阵的秩

［1］定义非零子式的最大阶数称卷矩阵的秩；

［2］秩的求法壹般不用定义求,而用下面皓论：

矩阵的初等变换不变化矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的数［每行的第壹

种非零元所在列,徙此元却始往下全悬0的矩阵称卷行阶梯阵］.

求秩:运用初等变换将矩阵化卷阶梯阵得秩.

4、逆矩阵

［1］定义:A、B卷n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵［满足半边也

成立］;

［2］性质：(AB)=1=(B(A'厂-1=(A、1)'；(AB的逆矩阵,您懂

的)［注意次序］

［3］可逆的条件：

①|A|W0；②r(A)=n;③A->1;

［4］逆的求解

伴随矩阵法A、1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)

②初等变换法(施行初等变换)

5、用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B,则X=［AA-1］B；

XB=A,则X=B(A^-1)；

AXB=C,则X=(A^1)C(B*-1)

三、线性方程组

1、疯生方程向解的鉴定

定理：

(l)r(A,b)Wr(A)辗解；

(2)r(A,b)=r(A)二n有唯壹解；

(3)r(A,b)=r(A)<n有辗穷多组解;

尤其地:封齐次线性方程组AX=O

(l)r(A)=n只有零解：(2)r(A)〈n有非零解：

再尤其,若悬方阵，(1)IA|#0只有零解(2)|A|=0有非零解

2、齐次线性方程组

［1］解的状况:r(A)=n,［或系数行列式DW0］只有零解；

r(A)<n,［或系数行列式D=O］有题穷多组非零解.

［2］解的构造：

X=clcil+c2a2+***+Cn-ran-r.

［3］求解的措施和环节：

①将增广矩阵通谩行初等变换化卷最简阶梯阵；

②写出封应同解方程组；

③移项,运用自由未知数表达所有未知数；

④表达出基础解系；

⑤写出通解.

3、非齐次线性方程组

［1］解的状况:运用鉴定定理.

［2］解的构造：X=u+clal+c2a2+…+Cn-ran-r.

［3］辗穷多组解的求解措施和环节：和齐次线性方程组相似.

［4］唯宜解的解法:布•克莱姆法则、逆矩阵法、消元法［初等变换法］.

四、向量组1、N维向量的定义注响量实际上就是特殊的矩阵［行矩阵和列矩阵］.

2、向量的运算：

［1］加减、数乘运算［和矩阵运算相似］;

［2］向量内积a'B=albl+a2b2+…+anbn；

［3］向量辰度|a|=Va'a=J(al"2+a2c2+…+arT2)(J根号)

［4］向量罩位化(1/|aI)a；

5］向量组的正交化［施密特措施］

设a1,a2,…，Qn线性辗关,则

3l=a1,

B2=Q2-［a2'Bl/Bl'P］*P1,

B3=a3-［a3‘P1/PP一［a3‘62/B2'B2］*B2,......

3、线性组合

［1］定义若B=klQ1+1<2。2+~+101&11,则称8是向量组。1,。2,…，Qn的壹种

线性组合，或称B可以用向量组a1,a2,…，an的壹种线性表达.

［2］鉴别措施将向量组合成矩阵，记

A=(a1,a2,•••,an),B=(a1,a2,…，Qn,6)

若r(A)=r(B),则B可以用向量组a1,a2,…，Qn的壹种线性表达；

若r(A)#r(B),则6不可以用向量组a1,Q2,…，an的壹种线性表达.

［3］求线性表达体琪式的措施：

将矩阵B施行行初等变换化卷最简阶梯阵,则最终壹列元素就是表达的系数.

4、向量组的线性有关性

［1］线性有关和线性辗关的定义设klal+k2a2+…+knan=0若kl,k2,…,kn

不全卷0,称线性有关；若kl,k2,…,kn全为0,称线性辗关.

［2］鉴别措施:①r(a1,a2,•••,an)<n,线性有关；r(a1,a2,•••»an)=n,线性辗

关.②若有nn维向量,可用行列式鉴别：n阶行列式aij=O,线性有关［WO辗

关］(行列式太不好打了)

5、极大辗关组和向量组的秩

［1］定义极大瓢关组所含向量f0数称卷向量组的秩

⑵求法设A=(a1,a2,…，an),将A化卷阶梯阵，则A的秩即卷向量组的秩，

而每行的第壹种非零元所在列的向量就构成了极大瓢关组.

五、矩阵的特钻值和特罢占向量

1、定义封方阵A,若存在非零向量X和数A使AX=NX,则称入是矩阵A的特黠

值，向量X称卷矩阵A的封应于特黠值X的特黠向量.

2、特黠值和特黠向量的求解：求出特黠方程|入I-A=0的根即卷特黠值，将特黠

值X代入封应齐次线性方程组(入I-A)X=O中求出方程组的所有非零解即卷特粘向量.

3、重要结论.

［1］A可立’的充要条件是A的特黠值不等于0；［2］A和A的转置矩阵A'有相似的特

粘值；［3］不壹样特黠值封应的特罢占向量线性辗关.

六、矩阵的相似

1、定义封同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P'lAP二B,则称A和B相似.

2、求A和封角矩阵A相似的措施和环节［求P和八］:

求出所有特钻值；求出所有特黠向量；

若所得线性辗关特粘向量低I数和矩阵阶数相似,则A可封角化［否则不能封角化］,

将造n倜线性辗关特黠向量构成矩阵即卷相似变换的矩阵P,依次将封应特黠值构成封

角阵即卷A.

3、求通谩正交变换Q和实封称矩阵A相似的封角阵：

措施和环节和壹般矩阵相似，只是第三步要将所得特黠向量正交化且军位化.

七、二次型1、定义n元二次多项式f(xl,x2,…，xn)=Eaijxixj称悬二次型，若

aij=O(i^j),则称卷二交型的原则型.i,j=l

2、二次型原则化：配措施和正交变换法.正交变换法环节和上面封角化完全相似,

道是由于封正交矩阵Q,Q~T=Q',即正交变换既是相似变换又是协议变换.

3、二次型或封称矩阵的正定性：［1］定义［略］；［2］正定的充要条件:①A正定的

充要条件是A的所有特黠值都不小于0；②A卷正定的充要条件是A的所有次序主子式

都不小于0

高等教育自孥考试

试题部分

阐明：本卷中,A「表达矩阵A的转置，屋表达向量a的转置,E表达罩位矩阵，|A|表

达方阵A的行列式,A1表达方阵A的逆矩阵,r［A］表达矩阵A的秩、

壹、罩项选择题［本大题共10小题,每题2分，共30分］

在每题列出的四他备选项中只有壹种是符合题目规定的将代码填写在题彳爰

的括号内选、多选或未选均辗分.

1、设行列式口

A、B、1

C、2D、

2、设A,B,C卷同阶可逆方阵，则［ABC「二口

A、A^B'C1B、C'B'A-'

C、C-,A'B-1D、At'B1

3、设Qha2,a以a1是4维列向量,矩阵A=［Q］，a*a*a］、假如IA|=2,则

|-2A|=［］

A、—32B、-4

C、4D、32

4、设ai,a方a的a4是三维实向量,则口

A、aa力a力a4壹定线性辗关B、a।壹定可由a力a力。4线性表出

C、aI,a2,a3,a4宜定线性有关D、ai,a2,a3壹定线性瓢关

5、向量组Q尸[1,0,0向a2=[1,1,0],Q3=[1,1,1]的秩卷口

A、1B、2

C、3D、4

6、设A是4X6矩阵,r[A]=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的他

数是口

A、1B、2

C、3D、4

7、设A是mXn矩阵已知Ax二0只有零解，则如下结论封的的是口

A、m2nB、Ax=b[其中b是m维实向量]必有唯壹解

C、r[A>mD、Ax=0存在基础解系

8、设矩阵A=，则如下向量中是A的特黠向量的是口

A、[1,1,1]TB、[1,1,3]T

C、[1,l,0]TD、[1,0,-3]T

9、设矩阵A二的三他特黠值分别悬入I,入2,入3,则入冬人2+入3=口

A、4B、5

C、6D、7

10、三元二次型f[xi,X2,xj=的矩阵卷口

A、B、

C、D、

二、填空题[本大题共10小题,每题2分，共20分]

^在每题的空格中填上封的答案.余昔填、不填均瓢分.

11、行列式=、

12、设A=，则内二、

13、设方阵A满足A3-2A+E=0,则[A2-2E]"=、

14、实数向量空间V={[xbx2,x3]IX]+x2+x3=0t的维数是、

15、设ai,a2是非齐次线性方程组Ax=b的解、则A[5c(2-4aJ三_______、

16、设A是mXn实矩阵,若r[ATA]=5,则r[A]=、

17、设线性方程组有辗穷多种解，则"______、

18、设n阶矩阵A有壹种特黠值3,则|-3E+A|=、

19、设向量a=[1,2,-2],P=⑵a,3],且a和B正交,则a二、

20、二次型的秩悬、

三、计算题[本大题共6小题,每题9分，共54分]

21、计算4阶行列式D二、

22、设A=，判断A与否可逆,若可逆，求其逆矩阵A，

23、设向量a=[3,2],求[a%”、

24、设向量组a尸口,2,3,6],a2=[l,-l,2,4],c3=[-l,1,-2,-8],。产[1,2,3,2设

[1]求该向量组的壹种极大线性辗关组；

[2]将其他向量表达悬该极大线性辗关组的线性组合、

线性代数试题

程代码：04184

壹、单项选择82[本大题共20小题,每题1分，共20分]

在每列出的四值I备选项中只有壹种是符合题目规定的，言青将其代码填写在题

彳爰的括号内.工普选、多选或未选均辗分.

1、已知2阶行列式二m,二n,则二口

A、m-nB>n-mC>m+n。、-[m+n]

2、设A,B,C均卷n阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC二口

A、ACBB、CABC、CBAD、BCA

3、设3阶方阵万卷4阶方阵，且行列式列|=1"B|=-2,则行列式||B|A|之值卷

[]

A、-8B、-2C、2D、8

4、口知A=,B=,P=,Q=,则B=[]

A、PAB、APC、QAD、AQ

5、已知A是壹种3X4矩阵，下面命题中封的的是口

A、若矩阵A中所有3阶子式都卷0,则秩[A]=2B、若A中存在2阶子式不卷0,则

秩[A]=2

C、若秩[A]=2,则A中所有3阶子式都卷0D、若秩[A]=2,则A中所有2阶子式都不

篇0

6、下面命题中鳍煲的是口

A、只具有壹种零向量的向量组线性有关B、由3他2维向量构成的向量组线性

有关

C、由登种非零向量构成的向量组线性有关D、两低I成比例的向量构成的向量组线

性有关

7、已知向量组aba2,a3线性辗关，□ba2,a3,3线性有关,则口

A、a।必能由a2,a3,B线性表出B、a2必能由a„a3,S线性表出C、a必能

由aa力[3线性表出D、B必能由aba2,a3线性表出

8、设A卷mXn矩阵,m^n,则齐次线性方程组Ax二0只有零解的充足必要条件是A

的秩口

A、不不小于mB、等于mC、不不小于nD、等于n

9、设A卷可逆矩阵,则和A必有相似特黠值的矩阵卷口

A、A「B、A2C.A-D、A"

10、二次型f[x„x2,x]二的正惯性指数卷口

A、OB、IC、2D、3

二、填空题[本大题共10小题,每题2分，共20分]^在每题的空格中填上封的答

案填、不填均辗分.

11>行列式的值卷、

12,设矩阵A=,B=，则4B二、

13、设4维向量[3,7,0,2了,B=[3,1,T,4]T,若向量y满足2丫=3B,则

Y=、

14、设A悬n阶可逆矩阵,且|A|二,则|A-'|=、

15、设A卷n阶矩阵,Bn阶非零矩阵,若B的每壹种列向量都是齐次线性方程

组Ax=0的解,则|A|=、

16、齐次线性方程组的基础解系所含解向量的低I数卷、

17、设n阶可逆矩阵A的壹种特黠值是-3,则矩阵必有壹种特罢占值卷

18、设矩阵A二的特黠值卷4,1,-2,则数x=

19、已知A二是正交矩阵，则a+b=.

20>二次型f[xbx2,X31=-4X1X2+2X1X3+6X2X3的矩阵是

三、计算题[本大题共6小题,每题9分，共54分]

21、计算行列式D二的值.

22、已知矩阵8=[2,1,3],C=[1,2,3],求[1]A=Bt；[2"2.

23、设向量组求向量组的秩及宜种极大线性瓢关组,并用该极大线性辗关组表达

向量组中的其他向量.

24、已知矩阵A=,B=、[1]求AZ[2]解矩阵方程AX=B.

25、冏a检何值H寺，线性方程组有惟壹解?有辗穷多解?并在有解H寺求出其解[在

有辗穷多解畤，规定用壹种特解和导出组的基础解系表达所有解].

26、设矩阵A=的三偃|特黠值分别卷1,2,5,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使

P'*AP=.

四、证明题[本题6分]

27、设A,B,A+B均。舄n阶正交矩阵，证明[A+B]-'=AH+B

全国7月高等教育自季考试

试卷阐明:在本卷中，不表达矩阵A的转置矩阵；A*表达A的伴随矩阵；R(A)表达矩

阵A的秩；|A|表达A的行列式；E表达单位矩阵.

1、设3阶方阵后[a-a2,QJ其中Qi(i=l,2,3)卷A的列向量，

若|B|=|[ai+2a一方&3]|=6,则|A|=[]A、-12B、-6C、6D、12

2、计算行列式[]A、-180B、-120C>120D、180

3、设A二,则|2A*|二[]A、-8B、-4C、4D、8

4、设al，a2,a3,ai都是3维向量,则必有

A、a”a幻a3,Q3线性辗关B、a”a幻a必Q，线性有关

C、a।可由a力a3,a।线性表达D、a।不可由a2,a3,。」线性表达

5、若A卷6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的他数卷2,则

R(A)=[]A>2B3C、4D、5

6、设A、B卷同阶矩阵，且R(A)=R(B),则[]A、4和B相似B、|A|二|B|C、A和B

等价D、A和B协议

7、设A^3阶方阵，其特钻值分别卷2,1,0则|A+2E|=[]A、0B、2C、3D、24

8、若A、B相似，则下面^法•误•的是[]A、A和B等价B、A和B协议C、|A|二|B|

D、A和B有相似特黠

9、若向量。=(1,-2,1)和8=(2,3,1)正交,则1=["、-2B、0C、2D、4

10、设3阶实封称矩阵A的特黠值分别卷2,1,0,则[]A、A正定B、A半正定C、A

负定D、A半负定

二、填空题(本大题共10小题,每题2分，共20分)耨在每题的空格中填上封的答

案.金昔填、不填均辗分.

|]、设A三R=,则AR=、

12、设A卷3阶方阵且|A|=3,则|3AT=、

13、三元方程Xi+x2+x3=0的构造解是、

14、设a=(-1,2,2),则和a反方向的^位向量是______、

15、设A悬5阶方阵,且R(A)=3,则线性空间W={x|AxR}的维数是、

16、设A卷3阶方阵,特黠值分别卷-2,,1,则15.「|=、

17、若A、B卷同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3,则R(AB)=、

18、二次型f(Xi,X2,X3)=-2X]X2+-X2X3所封应的矩阵是、

19、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解a尸，a2=,且R(A)=2,则Ax=b的通解是

20、设a二，则A二aa1的非零特黠值是

三、计算题(本大题共6小题,每题9分,共54分)

21、计算5阶行列式D=22、设矩阵X满足方程X二求X、

23、求非齐次线性方程组

的构造解、

24、求向量组a尸口,2,3,4],a2=[0,-1,2,3],o3=[2,3,8,11],

a4=[2,3,6,8]的秩、

25、己知A二的壹种特黠向量二[1,1,求a,b及所封应的特黠值,并写出封应于

道他I特黠值的所有特粘向量、

26、用正交变换化二次型f(x„x2,xj二卷原则形,并写出所用的正交变换、

四、证明题[本大题共1小题,6分]

27、设a”a2,Q3是齐次线性方程组Ax=o的壹种基础解系、证明a),a1(a2,a2+

a3也是Ax=0的基础解系、

全国10月高等教育自阜考试

线性代数(蟀管类)试题

程代码:04184

阐明:在本卷中,N表达矩阵A的转置矩阵,A*表达矩阵A的伴随矩阵,E是军位矩

阵，IA|表达方阵A的行列式,