2026年教师资格（学科知识与教学能力-数学）自测试题及答案

2026年教师资格（学科知识与教学能力-数学）自测试题及答案

班级______姓名______（考试时间：90分钟满分100分）一、选择题（总共10题，每题3分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号填在括号内）1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则函数$f(x)$的定义域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\neq-1$D.$x\gt1$2.直线$y=2x+1$与直线$y=-x+4$的交点坐标为（）A.$(1,3)$B.$(2,5)$C.$(3,7)$D.$(-1,-1)$3.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（）A.5B.11C.15D.204.抛物线$y=2x^2$的焦点坐标为（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(0,\frac{1}{4})$C.$(0,\frac{1}{8})$D.$(0,1)$5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_3=5$，$S_5=25$，则公差$d$的值为（）A.1B.2C.3D.46.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$7.曲线$y=x^3-3x^2+1$在点$(1,-1)$处的切线方程为（）A.$y=3x-4$B.$y=-3x+2$C.$y=-4x+3$D.$y=4x-5$8.已知函数$f(x)$是奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-2x$，则当$x\lt0$时，$f(x)$的表达式为（）A.$-x^2-2x$B.$-x^2+2x$C.$x^2+2x$D.$x^2-2x$9.若圆$x^2+y^2-2x-4y=0$的圆心到直线$x-y+a=0$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a$的值为（）A.-2或2B.$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$C.2或0D.-2或010.设$f(x)$是定义在$R$上的周期为2的偶函数，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x+1$，则$f(\frac{3}{2})$的值为（）A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{3}{4}$二、填空题（总共5题，每题4分，请把答案填在题中横线上）1.函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域是______。2.已知直线$l$的斜率为$k=-\frac{3}{4}$，且直线$l$过点$(1,2)$，则直线$l$的方程为______。3.若向量$\overrightarrow{a}=(x,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,-2)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$x$的值为______。4.已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=8$，则公比$q$的值为______。5.函数$y=\cos^2x-\sin^2x$的最小正周期是______。三、解答题（总共4题，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。2.在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{37}$，求角$C$的大小。3.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,0)$，求椭圆的方程。4.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=2n^2+n$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。四、材料分析题（1题，20分）阅读以下材料：在数学教学中，常常会遇到一些学生对概念理解不透彻，导致解题出错的情况。比如在学习函数单调性的概念时，有些学生只是记住了判断单调性的方法，却没有真正理解单调性的本质含义。一位教师在讲解函数单调性时，首先通过展示多个函数图像，让学生直观地观察函数在不同区间上的变化趋势，然后引导学生用自己的语言描述函数在某些区间上是如何上升或下降的。接着，教师给出一些具体的函数，让学生分组讨论这些函数在不同区间上的单调性，并要求每个小组推选一名代表进行发言。在学生发言后，教师进行点评和总结，强调函数单调性的定义中“任意”两个字的重要性，并通过具体的例子让学生进一步理解。之后，教师布置了一些练习题，让学生运用所学的函数单调性知识进行求解。在学生做题过程中，教师巡视并及时发现学生存在的问题，如对概念理解不清、解题步骤不规范等，并进行个别指导。最后，教师对本节课的内容进行了总结，再次强调函数单调性的概念和判断方法，并鼓励学生在课后继续思考函数单调性在实际生活中的应用。问题：请结合材料，分析该教师在教学函数单调性时运用了哪些教学方法？这些教学方法对学生理解和掌握函数单调性有何帮助？五、教学设计题（1题，20分）请设计一份关于“直线与圆的位置关系”的教学方案，要求包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程以及教学反思。答案：一、1.B2.A3.B4.C5.A6.B7.B8.A9.D10.B二、1.$x\gt1$2.$3x+4y-11=0$3.24.25.$\pi$三、1.$f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，对称轴为$x=1$。在区间$[0,1]$上单调递减，在区间$[1,3]$上单调递增。$f(0)=3$，$f(1)=2$，$f(3)=6$。所以最大值为6，最小值为2。2.根据余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，代入可得$\cosC=\frac{9+16-37}{2\times3\times4}=-\frac{1}{2}$，所以$C=120^{\circ}$。3.因为椭圆过点$(2,0)$，所以$a=2$。又离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$，则$b^2=a^2-c^2=1$，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。4.当$n=1$时，$a_1=S_1=3$；当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1$。当$n=1$时也满足，所以$a_n=4n-1$。四、该教师运用了直观演示法、讨论法、练习法和讲授法。直观演示法通过展示函数图像让学生直观感受函数单调性，帮助学生建立感性认识；讨论法让学生分组讨论函数单调性，培养学生合作交流和自主探究能力，加深对概念的理解；练习法及时巩固所学知识，发现问题并解决；讲授法总结强调函数单调性的概念和要点，强化学生记忆。这些方法相互配合，有助于学生从直观感知到深入理解，再到熟练应用函数单调性知识。五、教学目标：理解直线与圆的三种位置关