2026届高三数学测试题及答案（六）

届高三数学测试题（六）姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．若，则（）A．B．C． D．3.在的展开式中，常数项为，则（）A． B. C. D.4．下列函数中，是奇函数且最小正周期为的函数为（）A．B．C． D．5．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．6．设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分9．已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列选项正确的有（）A． B．数列是递增数列C．当时，取得最大值为 D．的最小值为10．如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是（）A．与垂直 B．与平面C．与所成的角为 D．平面11．已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（）A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切C． D．填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12．某个班级名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有种．（结果用具体数字表示）13．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数大约为.（精确到0.01）14.若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下406010050岁以上（含50）2575100合计65135200(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于小时，用分层随机抽样法抽取人做进一步访谈，再从这人中随机抽取人填写调查问卷.记抽取人中周平均锻炼时间不少于小时的人数为，求的分布列和数学期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.16．已知数列满足，，为数列的前项和．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和．17．在如图所示的直四棱柱中，连接，，，，，，，.(1)求证：四点共面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.18．已知函数．（1）若时，恒有，求的取值范围；（2）证明：当时，．19．已知椭圆，若椭圆的焦距为且经过点，过点的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．2026届高三数学测试题参考答案（六）一、单选题1．【解析】C因为集合，又集合，所以.2．【解析】C设，则，因为，所以，所以，解得，所以，所以.故选：C.3．【解析】D常数项为,解得4．【解析】B对A，其最小正周期为，故A错误；对B，设，且，解得，其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确；对C，其最小正周期为，故C错误；对D，设，定义域为，关于原点对称，则，则其为偶函数，故D错误.故选：B5．【解析】B因为，，所以，则，解得，因为，所以．故选：B6．【解析】D点,将代入，可得，解得，所以,所以，所以，又因为，所以，则，又因为，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故选:D.7．【解析】B依题意，，设外接圆的半径为，四棱锥的外接球的半径为，则，即，又侧面底面，底面为正方形，侧面底面，，平面，所以平面，所以，所以四棱锥的外接球的表面积.故选：B8．【解析】B由题意知，设，则，如图所示，由可得，整理得，即，又因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由可得，解得，故选：B二、多选题9．【解析】ACD因为，，所以，解得，，，对于A．令n＝9，解得，故A正确；对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误；对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确；对于D．，令，，∴f（x）在上单调递增，∴的最小值为1，故D正确.故选：ACD.10．【解析】ABD对A：连接，，则交于，又为中点，可得，由平面，平面，可得，故，故A正确；对B：连接，，由正方体性质可知平面，可得平面，故B正确；对C：与所成角就是，连接，由正方体性质可知，即为等边三角形，故，即与所成的角为，故C错误；对D：由，平面，平面，故平面，故D正确．故选：ABD11．【解析】BC抛物线的焦点，准线，，如图，因为，所以为线段的中点，，过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则，由抛物线的定义可知，，得，故C正确；在中，有，得，故D错误；，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即或，故A错误；取线段中点，过作轴于，则，所以，即线段中点到轴的距离等于，则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确．故选：BC三、填空题12．【解析】每名学生可报一项或两项，所以有,所以4名学生共有种.13．【解析】由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以14．【解析】设切点为，因为，所以切线斜率为，切线l的方程为，与坐标轴的交点分别为，令，解得，因为切点在第一象限，所以，所以与坐标轴围成三角形面积令，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有最小值，所以四、解答题15．【解析】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联··········································1分由列联表中的数据，可得，··················································3分··············································································4分根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于·····················5分所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时有人，不少于4小时有人，·····6分所以所有可能的取值为，··············································································7分所以，，，······················10分所以随机变量的分布列为：123随机变量的数学期望·················································13分16．【解析】（1）对整理有：，···································1分等式两边同时除以可得，······························································3分等式两边再同时减得，即，······························5分又由，可得，故，············································6分则数列是首项为，公比为的等比数列．··········································7分（2）由（1）得的通项公式为，得，所以．··········11分（3）由（2）知，所以·············13分········································································15分【解析】（1）因为，，，∴是等腰直角三角形，································································1分∴，所以，····················································2分又，所以，·······························································4分所以，，，四点共面．·······························································5分（2）因为，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，，·····················7分所以，，，.······································8分设平面的法向量为，则有，化简得，所以可取，··········10分设平面的法向量为，则有，化简得，所以取，···12分平面与平面的夹角即与夹角或其补角，所以，························14分所以平面与平面夹角的余弦值为.···································15分18．【解析】（1）由若时，恒有，所以当时，恒成立，···········1分设，则令，·································2分则，显然在单调递增，故当时，，··············4分①当时，，则对恒成立，则在单调递增，从而当时，，即在单调递增，所以当时，，符合题意；·············································6分②当时，，又因为，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，，则单调递减，此时，不符合题意；·······································8分综上所述，a的取值范围为.·······························································9分（2）要证当时，，即证，·························10分设，则，··············11分令，则单调递增，·····················13分所以当时，，则单调递增，·····················14分所以当时，，················································15分则当时，，即单调递增，·························································16分所以当时，，原式得证.···············17分19．【解析】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，，··2分所以椭圆的方程为.·································································3分（2）根据题意知直线的斜率不为0，设直线，，，············4分联立，消去整理得，··········5分，，且，··············7分，····················9分令，，，当且仅当，即，即时，等号成立，····························································